[論文レビュー] Quantum walks on directed graphs

Ashley Montanaro|ArXiv.org|Apr 15, 2005

Quantum Computing Algorithms and Architecture参考文献 15被引用数 6

ひとこと要約

本稿では、有向グラフ上の離散時間量子ウォークが、可逆性（各アークに逆向きのパスが存在すること）を満たす場合にのみ可能であることを確立している。これは、可逆性が量子ウォーク実行の必要十分条件であることを意味する。非可逆グラフに対しては、ユニタリな進化と測定を交互に繰り返すハイブリッドな「部分的に量子的」ウォークを導入し、一般の有向グラフ上でも量子ウォークに類似した振る舞いを維持しながら、限定的なコherenceを保つことを可能にしている。

ABSTRACT

We consider the definition of quantum walks on directed graphs. Call a directed graph reversible if, for each pair of vertices (i, j), if i is connected to j then there is a path from j to i. We show that reversibility is a necessary and sufficient condition for a directed graph to allow the notion of a discrete-time quantum walk, and discuss some implications of this condition. We present a method for defining a "partially quantum" walk on directed graphs that are not reversible.

研究の動機と目的

• 離散時間量子ウォークが有向グラフ上で意味的に定義可能となる条件を特定すること。
• ユニタリな量子ウォークの進化を可能にする構造的性質、すなわち可逆性を同定すること。
• ユニタリと測定のハイブリッド手法を用いて、非可逆有向グラフ上での量子ウォークのフレームワークを提供すること。
• 可逆性が、到達可能性問題のような難しい有向グラフ問題に特化した量子アルゴリズムに与える影響を評価すること。

提案手法

• 頂点に関連する基底状態を他の頂点状態へ写像するユニタリ演算子 W を繰り返し適用することで、離散時間量子ウォークを定義する。
• すべてのアークに逆向きのパスが存在する「可逆的」な有向グラフの概念を導入し、完全にコherentな量子ウォークのための必要十分条件とする。
• ユニタリ進化と射影測定を交互に繰り返すことで、非可逆グラフ上でもコherenceを維持する「部分的に量子的」ウォークを構築する。
• ユニタリウォーク演算子のサポートを用いてグラフ構造を定義し、遷移がグラフ内のアークに対応するように保証する。
• 到達可能性問題にフレームワークを適用し、可逆グラフでは無向連結性に還元されることを示し、このような場合における量子アルゴリズムの高速化の可能性が制限されることを示す。
• 到達する終点（sink）に依存する古典的ランダムウォークアルゴリズム（例：SchöningのSATアルゴリズム）が、非可逆性のため、量子ウォークに直接一般化できないことを示す。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 有向グラフ上で完全なユニタリコherenceを有する意味的な離散時間量子ウォークを定義可能とするための構造的条件は何か？
• RQ2 非可逆有向グラフ上でも量子ウォークを定義可能か？ もし可能であれば、どのようにコherenceを維持できるか？
• RQ3 可逆性の条件が、到達可能性問題のようなNP困難な問題に特化した有向グラフ上の量子ウォークアルゴリズムへの適用に与える影響は何か？
• RQ4 非可逆有向グラフを扱うために、標準的な量子ウォークモデルにどのような修正が必要か？
• RQ5 量子ウォークに基づくアルゴリズムが、SAT や到達可能性問題のような有向グラフ問題において、古典的手法をどの程度上回れるか？

主な発見

• 可逆性（各有向アークに対して逆向きのパスが存在すること）は、ユニタリ演算子を用いた離散時間量子ウォークが定義可能であるための必要十分条件である。
• すべての無向グラフおよびすべてのオイラー的グラフ（正則グラフを含む）は可逆である。これは、対称的な接続性を有するためである。
• 非可逆グラフに対しては、ユニタリ進化と射影測定を交互に繰り返すことで「部分的に量子的」ウォークを定義でき、ステップ間でコherenceを維持できる。
• 可逆有向グラフ上の到達可能性問題は、無向連結性に還元され、これにより量子ウォークアルゴリズムが顕著な高速化を達成できない可能性があることを示唆する。
• 終点（sink）に依存する古典的ランダムウォークアルゴリズム（例：Schöningのアルゴリズム）は、非可逆性のため、非可逆グラフ上での量子ウォークに直接一般化できない。
• 連続時間量子ウォークでは、有向グラフの隣接行列がヒルベルト行列でなければならないが、これは非可逆グラフでは成立しないため、本稿では離散時間ウォークに焦点を当てている。