[論文レビュー] Quartet fixed point for nonlinear contraction

Erdal Karapınar|arXiv (Cornell University)|Jun 27, 2011

Fixed Point Theorems Analysis参考文献 8被引用数 33

ひとこと要約

本稿では、部分的に順序付けられた距離空間における非線形収縮写像に対して、混合g-単調写像を用いて四重固定点の概念を導入する。一般化された収縮条件の下で、四重一致点の存在および一意性を確立し、反復列および写像とその関連関数gの連続性の仮定により、従来の対固定点および三重固定点に関する研究を拡張する。

ABSTRACT

The notion of coupled fixed point is introduced in by Bhaskar and Lakshmikantham in [2]. Very recently, the concept of tripled fixed point is introduced by Berinde and Borcut [1]. In this manuscript, by using the mixed g monotone mapping, some new quartet fixed point theorems are obtained. We also give some examples to support our results.

研究の動機と目的

• 部分的に順序付けられた距離空間における対固定点および三重固定点の理論を、四重固定点にまで拡張すること。
• 一般化された収縮条件の下で、写像Fと関数gの四重一致点の存在および一意性を確立すること。
• 対固定点および三重固定点に関する先行結果を、混合g-単調性を有する四変数固定点構造を導入することによって一般化すること。
• 反復列が四重固定点に収束することを保証する十分条件（連続性、可換性、順序適合性）を提示すること。

提案手法

• 四変数写像F: X⁴ → Xに対して、gが誘導する順序に関して、Fが第1および第3変数に関して非減少で、第2および第4変数に関して非増加であるという混合g-単調性を定義する。
• 関数φを用いた収縮条件を導入し、d(F(x,y,z,w), F(u,v,s,t)) ≤ φ(1/4 [d(g(x),g(u)) + d(g(y),g(v)) + d(g(z),g(s)) + d(g(w),g(t))]) を満たすものとし、t > 0 のときφ(t) < t であるとする。
• g(xₙ₊₁) = F(xₙ, yₙ, zₙ, wₙ) などとなる反復列 (xₙ), (yₙ), (zₙ), (wₙ) を構成し、{g(xₙ)}, {g(yₙ)}, {g(zₙ)}, {g(wₙ)} が完備距離空間Xにおいてコーシー列であることを証明する。
• gの連続性およびFとgの可換性を用いて、これらの列の極限が四重一致点方程式を満たすことを示す：F(x,y,z,w) = g(x), F(y,z,w,x) = g(y), F(z,w,x,y) = g(z), F(w,x,y,z) = g(w)。
• 背理法を用いて収束を証明し、距離列の極限が0に収束しないと仮定すると、収縮条件と矛盾することを示す。
• Fとgの連続性を仮定する（a）および極限列が反復列と順序適合であるという条件を仮定する（b）という2つの異なる仮定を適用し、固定点条件が成立することを保証する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 四変数写像Fが部分的に順序付けられた距離空間において、いつ四重一致点を有するか。
• RQ2 混合g-単調性の概念は、対固定点および三重固定点から四重固定点にどのように拡張できるか。
• RQ3 どの収縮条件が反復列が一意な四重固定点に収束することを保証するか。
• RQ4 Fとgの連続性および可換性は、四重一致点の存在にどのように影響するか。
• RQ5 Fが連続でない場合、極限列の順序適合性は果たす役割は何か。

主な発見

• {g(xₙ)}, {g(yₙ)}, {g(zₙ)}, {g(wₙ)} の反復列は、完備距離空間X内の極限x, y, z, wに収束する。
• 連続性および可換性の仮定の下で、極限は四重一致点方程式を満たす：F(x,y,z,w) = g(x), F(y,z,w,x) = g(y), F(z,w,x,y) = g(z), F(w,x,y,z) = g(w)。
• Fが連続でないが順序適合性の条件が成立する場合、収縮条件を用いた極限の議論により、同じ四重一致点が得られる。
• 収縮条件 d(F(x,y,z,w), F(u,v,s,t)) ≤ φ(1/4 [d(g(x),g(u)) + d(g(y),g(v)) + d(g(z),g(s)) + d(g(w),g(t))]) かつ φ(t) < t が収束を保証する。
• 距離の差が0に収束しないと仮定すると、収縮条件と矛盾が生じ、列がコーシー列であることが証明される。
• 厳密な収縮条件および関数φの性質により、四重一致点の一意性が示される。