[論文レビュー] Quarticles and the Identity of Indiscernibles

Nick Huggett|ArXiv.org|Aug 1, 2002

Quantum Mechanics and Applications参考文献 3被引用数 17

ひとこと要約

この論文は、多体系の量子状態における条件付き確率および射影演算子の厳密な分析を用いて、同一の量子粒子が、かつそれが互いに（反）対称化されているとき、かつそのときに限り、同一の不可識別性の原則（PII）に違反することを確立している。これは、いかなる観測可能量の期待値によっても粒子を区別できないという定義に基づく不識別性が、対称化の仮説を含む、量子統計と形而上学的個体性の原則を直接結びつけるものである。

ABSTRACT

The principle of the identity of indiscernibles (PII) states that if two systems are qualitatively identical then they are logically identical. French and Redhead (1988) and Butterfield (1993) have shown the sense in which bosons and fermions violate the PII, but did not investigate the issue for particles of other kinds of statistics: i.e., for the (p,q) particles -- or `quarticles' -- of Hartle, Stolt and Taylor (1970). This paper shows that for any type of indistinguishable quarticle the PII is violated but that for distinguishable quarticles there are states in which it is violated by any pair of particles, states in which it is violated only by some pairs of particles and states in which it is violated by no pairs of particles. The updated version corrects a minor statement of mathematical fact, and provides a short proof for a conjecture made in the original.

研究の動機と目的

• 多体系における同一の量子粒子の同一性の原則（PII）と量子粒子の個体性との論理的関係を解明すること。
• 観測可能量の値の確率によって定義される同一粒子の不識別性が、置換演算子の下で（反）対称化を含むかどうかを特定すること。
• 先行研究におけるギャップを埋め、同一粒子系においてPIIの違反が（反）対称化の必要十分条件であることを示すこと。
• 任意のエルミート演算子に対して、区別する確率が存在しないことが、対称化を意味するかどうかを明確にすることにより、量子力学におけるPIIの完全な特徴付けを完成させること。

提案手法

• 粒子対間の不識別性の基準として、条件付き確率の等価性を用いる：prΨ(Qi=q|Q′j=p′) = prΨ(Qj=q|Q′i=p′)。
• 射影演算子と期待値を用いて確率を表現し、観測可能量の同時固有射影演算子に対して⟨Ψ|Π|Ψ⟩の形で表す。
• 置換演算子Pijを用いて対称化を定義する：Ψ = ±PijΨ、そして不識別性がPijΨ = λΨを含むことを示す。
• すべての観測可能量の確率が粒子交換に対して不変であるならば、状態はPijの固有状態であり、固有値±1をとらなければならないことを示す。
• エルミート演算子の積がn粒子ヒルベルト空間上の演算子空間の基底をなすという事実を用い、特定の観測可能量からすべての可能な観測可能量へ一般化する。
• ヒルベルト空間内の異なる射影直線は、あるエルミート演算子の期待値において異なるという標準的な量子力学的原則を適用し、PijΨ = ±Ψに結論づける。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 観測可能量の値の確率がすべて等しいという定義による同一粒子の不識別性が、それらが（反）対称化されていることを含むかどうか。
• RQ2 すべての条件付き確率を通じて不識別であるにもかかわらず、PijΨ = ±Ψを満たさない同一粒子のペアは存在するか。
• RQ3 対称化の仮説が、同一粒子系におけるPII違反の必要十分条件であるか。
• RQ4 非対称化されたエンタングル状態では、周辺確率が等しい場合でも、単粒子観測可能量に対して区別する確率が存在するか。
• RQ5 多体系の量子状態における置換対称性の観点から、PII違反の完全な特徴付けは可能か。

主な発見

• 同一の粒子のペアが、すべての観測可能量の条件付き確率や結合確率によって区別できない、すなわち不識別であるならば、かつそのときに限り、それらは互いに（反）対称化されている：Ψ = ±PijΨ。
• 証明は、すべての射影演算子の積の期待値が粒子交換に対して不変であるならば、状態は置換演算子の固有状態でなければならないことを示している。
• この結果は、特定の観測可能量に限らず、すべてのエルミート演算子に対して成り立つ。なぜなら、このような演算子が観測可能量の空間の完全基底をなすからである。
• この論文は、同一粒子系におけるPII違反に対して、対称化の仮説が必要かつ十分であることを確立している。
• 先行研究の逆を証明した：どの確率でも粒子を区別できないならば、状態は（反）対称化されていなければならない。これは、量子個体性に関する基礎的ギャップを埋めたものである。
• 分析により、量子粒子（quarticles）が（反）対称化されているときにのみPIIに違反することが確認され、それらの非個体性を完全に特徴づける基準が得られた。