[論文レビュー] Quasi-adiabatic Continuation for Disordered Systems: Applications to Correlations, Lieb-Schultz-Mattis, and Hall Conductance

M. B. Hastings|arXiv (Cornell University)|Jan 28, 2010

Physics of Superconductivity and Magnetism参考文献 15被引用数 24

ひとこと要約

本稿では、局在化した低エネルギー励起状態を有する不規則量子多体系に対して、移動度ギャップの定義を導入し、従来スペクトルギャップに依存していた準静的連続化技術を、ギャップが存在しない系へと拡張可能にする。最適化されたフィルタ関数を用い、指数的減衰よりも緩やかな減衰（$ \mathcal{O}(\exp(-t^{\alpha})) $、任意の $ \alpha < 1 $）を実現することで、著者らは指数的相関関数の崩壊、一般化された高次元Lieb-Schultz-Mattis定理、およびホール電導度の整数量子化を、密度状態の分布に関する弱い仮定の下で証明した。誤差境界は指数的ではなく、指数的よりも緩やかな減衰を示す。

ABSTRACT

We present a possible definition of a mobility gap for a many-body quantum system, in analogy to definitions of dynamical localization for single particle systems. Using this definition, we construct "corrected" quasi-adiabatic continuation operators. Under an appropriate definition of a unique ground state, we show how to introduce virtual fluxes. Armed with these results, we can directly carry over previous results in the case of a spectral gap. We present a proof of decay of correlation functions and we present a proof of Hall conductance quantization under very mild density-of-states assumptions defined later. We also generalize these definitions to the case of a "bulk mobility gap", in the case of a system with boundaries, and present a proof of Hall conductance quantization on an annulus under appropriate assumptions. Further, we present a new "optimized" quasi-adiabatic continuation operator which simplifies previous estimates and tightens bounds in certain cases. This is presented in an appendix which can be read independently of the rest of the paper as it also improves estimates in the case of systems with a spectral gap. This filter function used decays in time at least as fast as ${\cal O}(\exp(-t^α))$ for all $α&lt;1$, a class of decay called subexponential (a tighter description of what is possible is below). Using this function it is possible to tighten recent estimates of the Hall conductance quantization for gapped systems\cite{hall} to a decay which is subexponential in system size.

研究の動機と目的

• 不規則多体量子系における移動度ギャップの定義を提示し、局在化した低エネルギー励起状態に一般化されたスペクトルギャップ概念を拡張する。
• 移動度ギャップの下で局所性を保ち、断続的変化を近似する修正された準静的連続化作用素を構築する。
• 従来の結果（相関関数の崩壊、Lieb-Schultz-Mattis定理、ホール電導度の整数量子化）を、スペクトルギャップの仮定に依存しない、移動度ギャップを有する系へと拡張する。
• 減衰特性が向上した新しいフィルタ関数を用いた最適化された準静的連続化作用素を導入し、既存の証明における誤差境界を厳密化する。
• 境界を有する系およびバルク移動度ギャップを有する系へとフレームワークを一般化し、トポロジカルに非自明な幾何構造（例えばアニュラス）上でのホール電導度の整数量子化を可能にする。

提案手法

• 単粒子系における動的局在化に類似した、低エネルギー励起状態の遅い伝播に基づく移動度ギャップの定義を提案する。
• 移動度ギャップ領域においても局所性を保ち、断続的変化を近似する修正された準静的連続化作用素を構築する。
• 任意の $ \alpha < 1 $ に対して $ \mathcal{O}(\exp(-t^{\alpha})) $ の減衰を示す、新たなフィルタ関数を導入し、誤差推定値の改善を図る。
• 新しいフィルタ関数を用いたLieb-Robinson評価を適用し、断続的変化中の作用素の広がりを制御する。
• 仮想フラックス挿入と基底状態の一意性の仮定を用いて、フラックス応答の境界を導出し、ギャップを持つ系における結果を一般化する。
• 密度状態に関する最小限の仮定の下で、相関関数の崩壊、ホール電導度の整数量子化、一般化されたLieb-Schultz-Mattis定理の証明にこのフレームワークを適用する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 不規則多体量子系に対して、スペクトルギャップ概念を局在化した低エネルギー励起状態に一般化できる移動度ギャップを定義できるか？
• RQ2 移動度ギャップを有する系において、局所性を保ちながら断続的変化を近似できるように、準静的連続化作用素をどのように再設計できるか？
• RQ3 相関関数の崩壊、ホール電導度の整数量子化、Lieb-Schultz-Mattis定理といった結果を、スペクトルギャップが存在しない不規則系へどの程度まで拡張できるか？
• RQ4 指数的減衰よりも緩やかな減衰を示す新しいフィルタ関数を用いることで、ホール電導度の整数量子化に関する既存の証明における誤差境界をどのように厳密化できるか？
• RQ5 境界を有する系およびバルク移動度ギャップを有する系へと、フレームワークをどのように拡張できるか。特にトポロジカルに非自明な幾何構造（例：アニュラス）においては？

主な発見

• 本稿では、不規則系に対して一般化された高次元Lieb-Schultz-Mattis定理を確立し、ギャップが超多項式的に小さくなるか、またはフラックス挿入の期待値が特定の制約された方法で変化することを示した。
• 基底状態の一意性を仮定した下で、移動度ギャップを有する不規則系において、相関関数の指数的崩壊を証明した。
• ホール電導度が、減衰クラス $ g $ の関数によって上限される誤差を伴いながら整数に量子化されることを示した。誤差は指数的ではなく、指数的よりも緩やかな減衰を示した。
• 任意の $ \alpha < 1 $ に対して $ \mathcal{O}(\exp(-t^{\alpha})) $ の減衰を示すフィルタ関数に基づく最適化された準静的連続化作用素により、誤差推定が簡素化され、既存の証明における境界が厳密化された。
• 境界を有する系へとフレームワークを一般化し、バルク移動度ギャップを仮定した下で、アニュラス上でのホール電導度の整数量子化の証明が可能となった。
• ホール電導度の整数量子化における誤差が、指数的よりも緩やかに減衰することを示し、従来の「指数のべき乗」型の境界を改善した。