[論文レビュー] Quasi-compactness of Markov kernels on weighted-supremum spaces and geometrical ergodicity

Denis Guibourg, Loı̈c Hervé+1 more|arXiv (Cornell University)|Oct 14, 2011

Markov Chains and Monte Carlo Methods参考文献 32被引用数 8

ひとこと要約

本稿は、重み付きノルムのバナッハ空間 $\mathcal{B}_V$ 上のマルコフ核の擬コンパクト性の十分条件を確立し、本質的スペクトル半径の明示的上界を導出し、$V$-幾何的エルゴード性と関連付ける。ドリフトおよびミニマライゼーション条件の下で、$P^n$ が $\mathcal{B}_V$ 上の作用素ノルムで不変測度に幾何的に収束することを証明し、収束速度 $\rho_V(P)$ が $P$ のスペクトル性質によって制御されることを示し、離散連鎖および反復関数系へと結果を拡張する。

ABSTRACT

Let $P$ be a Markov kernel on a measurable space $\X$ and let $V:\X [1,+\infty)$. We provide various assumptions, based on drift conditions, under which $P$ is quasi-compact on the weighted-supremum Banach space $(\cB_V,\|\cdot\|_V)$ of all the measurable functions $f : \X \C$ such that $\|f\|_V := \sup_{x\in \X} |f(x)|/V(x) < \infty$. Furthermore we give bounds for the essential spectral radius of $P$. Under additional assumptions, these results allow us to derive the convergence rate of $P$ on $\cB_V$, that is the geometric rate of convergence of the iterates $P^n$ to the stationary distribution in operator norm. Applications to discrete Markov kernels and to iterated function systems are presented.

研究の動機と目的

• 重み付きノルムバナッハ空間 $\mathcal{B}_V$ 上でのマルコフ核の擬コンパクト性を保証する条件を確立すること。
• 核 $P$ の $\mathcal{B}_V$ 上における本質的スペクトル半径 $r_{\text{ess}}(P)$ の明示的上界を導出すること。
• 擬コンパクト性と $V$-幾何的エルゴード性（すなわち、$\mathcal{B}_V$ 上の作用素ノルムで $P^n$ が不変測度に幾何的に収束すること）との関連を確立すること。
• 離散マルコフ連鎖および反復関数系における収束速度 $\rho_V(P)$ を定量化すること。

提案手法

• ドリフト条件 $PV \leq \varrho V + M \mathbf{1}_S$ （$\varrho < 1$）と小さな集合 $S$ におけるミニマライゼーションを用いて、スペクトルの制御を確保する。
• $\mathcal{B}_V$ 上の関数解析的技法を用い、関数の成長を制御する重み付きノルムを活用する。
• 本質的スペクトル半径に対する上界 $r_{\text{ess}}(P) \leq \frac{\varrho \nu(\mathbf{1}_\mathbb{X}) + \tau}{\nu(\mathbf{1}_\mathbb{X}) + \tau}$ （$\tau = \max(0, M - \nu(V))$）を導出する。
• 反復関数系に対しては、核 $K$ の滑らかさと導関数の可積分性を仮定し、$P(\mathcal{B}_\gamma) \subset \mathcal{L}_a$ の包含関係を示す。
• テイラーの不等式と勾配の上限を用いて、ホルダー型セミノルムを制御し、リプシッツ型空間における収束速度を導出する。
• 生成子の収縮性を用いて、出生死滅連鎖および自己回帰モデルに対して幾何的エルゴード性を示し、スペクトル制御による解析を実施する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 マルコフ核 $P$ が重み付きノルム空間 $\mathcal{B}_V$ 上で擬コンパクトとなる条件は何か？
• RQ2 ドリフトおよびミニマライゼーション条件の下で、本質的スペクトル半径 $r_{\text{ess}}(P)$ の明示的上界はどのように導出可能か？
• RQ3 空間 $\mathcal{B}_V$ 上での擬コンパクト性は、$V$-幾何的エルゴード性（すなわち、$\mathcal{B}_V$ 上の作用素ノルムで $P^n$ が不変測度に幾何的に収束すること）をどのように示すか？
• RQ4 離散マルコフ連鎖および反復関数系における収束速度 $\rho_V(P)$ は何か？ また、その上界はどのように得られるか？
• RQ5 遷移核 $K$ に対する滑らかさおよび可積分性の条件が、$P$ が $\mathcal{B}_\gamma$ を $\mathcal{L}_a$ に写像することを保証するのはなぜか？

主な発見

• 本質的スペクトル半径は、$r_{\text{ess}}(P) \leq \frac{\varrho \nu(\mathbf{1}_\mathbb{X}) + \tau}{\nu(\mathbf{1}_\mathbb{X}) + \tau}$ （$\tau = \max(0, M - \nu(V))$）を満たし、ドリフトおよびミニマライゼーション条件の下で明示的な上界が得られる。
• ドリフト条件 (D) およびミニマライゼーション条件 (S) の下で、非可約性や非周期性を仮定せずとも、$P$ の $\mathcal{B}_V$ 上での擬コンパクト性が確立される。
• 収束速度 $\rho_V(P)$ は、$\sup_{\|f\|_V \leq 1} \|P^n f - \pi(f)\|_V = O(\rho^n)$ （$\rho < 1$）を満たし、$\rho$ はスペクトルの上界によって制御される。
• 出生死滅連鎖に対しては、生成子の収縮性により、$\kappa_1^n$ （$\kappa_1 < 1$）で収束速度が上界付けられる。
• 滑らかな核 $K$ を持つ反復関数系では、$K$ の可積分性および導関数の有界性の下で、包含関係 $P(\mathcal{B}_\gamma) \subset \mathcal{L}_a$ が成立し、収束速度の解析が可能になる。
• リプシッツ型関数における収束速度は、$m_a(P^n f - \pi(f)) \leq \xi^{\frac{a-1}{a}} m_a(f) \kappa_1^n$ を満たし、$n$ に対して指数的減衰が見られる。