[論文レビュー] Quasi-concave functions on antimatroids

Vadim E. Levit, Yulia Kempner|arXiv (Cornell University)|Aug 26, 2004

Rough Sets and Fuzzy Logic参考文献 3被引用数 3

ひとこと要約

本稿は、k-切断されたアンティマトロイド上の擬凹集合関数と単調連結関数の間に双対性を確立する。この構造上で定義された任意の擬凹関数は、単調連結関数の最小値として表現可能であり、逆に任意の単調連結関数の最小値は擬凹関数を導く。ただし、その前提として、元の集合系が上界のないk-切断区間性質を満たしている必要がある。この性質がk-切断アンティマトロイドを特徴付ける。

ABSTRACT

In this paper we consider quasi-concave set functions defined on antimatroids. There are many equivalent axiomatizations of antimatroids, that may be separated into two categories: antimatroids defined as set systems and antimatroids defined as languages. An algorthmic characterization of antimatroids, that considers them as set systems, was given in (Kempner, Levit 2003). This characterization is based on the idea of optimization using set functions defined as minimum values of linkages between a set and the elements from the set complement. Such set functions are quasi-concave. Their behavior on antimatroids was studied in (Kempner, Muchnik 2003), where they were applied to constraint clustering. In this work we investigate a duality between quasi-concave set functions and linkage functions. Our main finding is that quasi-concave set functions on an antimatroid may be represented as minimum values of some monotone linkage functions.

研究の動機と目的

• k-切断アンティマトロイド上の擬凹集合関数と単調連結関数の間の双対性を確立すること。
• 任意の単調連結関数の最小値が擬凹関数を導くような集合系のクラスを特徴付けること。
• 与えられた擬凹関数を定義する単調連結関数の集合が、点ごとの最小値に関して半束をなすこと示すこと。
• k-切断区間性質が上界なしで成り立つことが、双対性が成立するための必要十分条件であることを証明すること。

提案手法

• 基底の交差を用いたmeet演算により、k-切断アンティマトロイド上の擬凹集合関数を定義：F(X ∧ Y) ≥ min{F(X), F(Y)}。
• すべてのx ∈ Eに対してX ⊆ Y ⇒ π(x,X) ≥ π(x,Y)を満たす単調連結関数πを導入。
• F(X) = min_{x ∈ Γ(X)} π(x,X) と表記し、Γ(X)をXの妥当な拡張の集合とする。
• k-切断区間性質と基底の性質を用いて、このような最小関数が擬凹であることを証明。
• Fからπ_Fをπ_F(x,X) = max_{A ∈ [X, E−x]_F_{k−1}} F(A)と定義し、これがFを定義し、かつそのような関数の中で最小であることを示す。
• すべてのこのような連結関数の集合が、点ごとの最小値に関して半束をなし、π_Fがその最小元であることを示す。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 任意のk-切断アンティマトロイド上の擬凹関数は、単調連結関数の最小値として表現可能か？
• RQ2 上界のないk-切断区間性質が、任意の単調連結関数の最小値が擬凹関数であるための必要十分条件か？
• RQ3 与えられた擬凹関数を表す単調連結関数の集合の代数的構造は何か？
• RQ4 標準連結関数π_Fは、同じFを定義する他の連結関数とどのように関係しているか？
• RQ5 基底作用素B(X)は、妥当な拡張の特徴付けと双対性の成立を保証するために果たす役割は何か？

主な発見

• 任意のk-切断アンティマトロイド上の擬凹関数Fは、ある単調連結関数πを用いてF(X) = min_{x ∈ Γ(X)} π(x,X)と表現可能である。
• π_F(x,X) = max_{A ∈ [X, E−x]_F_{k−1}} F(A)で定義される標準連結関数π_Fは、F(X) = min_{x ∈ Γ(X)} π_F(x,X)を満たし、そのような関数の中で最小である。
• 与えられたFを定義するすべての単調連結関数の集合は、点ごとの最小値に関して半束をなし、π_Fがその最小元である。
• 上界のないk-切断区間性質が、任意の単調連結関数の最小値が擬凹関数であるための必要十分条件である。
• k-切断区間性質が成立しない場合、最小値が擬凹関数でない単調連結関数が存在し、この条件の必要性が示される。
• E = {1,2}, F = 2^E, およびπ(2,∅) = 2, それ以外でπ(x,X) = 1と定義した例は、Fが定数関数であってもπ_F ≠ πであることを示しており、π_Fが一意的ではないが最小であることを示している。