[論文レビュー] Quasi-conserved quantities in the perturbed XXX spin chain

Savvas Malikis, Denis V. Kurlov+1 more|arXiv (Cornell University)|Jul 3, 2020

Quantum many-body systems参考文献 31被引用数 5

ひとこと要約

この論文は、可解モデルの局所的保存量を変更することで、弱く摂動された等方的XXXスピン1/2鎖における準保存量を構築する。SU(2)および並進不変性を持つ局所的摂動の強さをパラメータとする摂動展開を用い、第3〜4次程度までの低次の保存量（n ≈ 3–4）のみが、O(λ²)の精度で準保存量に拡張可能であることが示され、高次保存量は非局所性と発散する補正のため保存性を失う。

ABSTRACT

We consider the isotropic spin-1/2 Heisenberg spin chain weakly perturbed by a local translationally- and SU(2)-invariant perturbation. Starting from the local integrals of motion of the unperturbed model, we modify them in order to obtain quasi-conserved integrals of motion (charges) for the perturbed model. Such quasi-conserved quantities are believed to be responsible for the existence of the prethermalization phase at intermediate timescales. We find that for a sufficiently local perturbation only the first few integrals of motion can be promoted to the quasi-conserved charges, whereas higher-order integrals of motion do not survive.

研究の動機と目的

• 実験およびシミュレーションで観測されるプリススティル化状態を説明できる、弱く摂動されたXXXスピン鎖における準保存量を同定すること。
• 中間時間スケールで有効な保存量を同定することで、一般化ギブス集団（GGE）の枠組みをほぼ可解系へと拡張すること。
• 元のXXXモデルの局所的保存量が弱い摂動下でどのように変更されれば、近似的に保存される量が得られるかを特定すること。
• SU(2)不変テンソル構造（例：Δ₂, Δ₃, Δ₄）が、対称性と局所性を保ちつつ保存量の補正を構築するのにおける役割を調査すること。
• 摂動的構成法の限界を明確にすること、特に高次保存量がなぜ準保存量でなくなるかの理由を特定すること。

提案手法

• 可解XXXスピン鎖の局所的保存量 $ Q_n $ を出発点とし、摂動強度 $ \lambda $ の摂動展開により補正項 $ \delta Q_n^{(m)} $ を構築する。
• 2サイト、3サイト、4サイト、5サイトのスピン上でのパウリ行列の積から構成されるSU(2)不変演算子の基底（$ \Delta_2, \Delta_3, \Delta_4, \Delta_5 $）を用いて補正項を表現する。
• 準保存性を2次まで保つため、$ [H_0 + \lambda V, \tilde{Q}_n] = \mathcal{O}(\lambda^2) $ の条件を課し、係数 $ c_n^{(m)} $ に対する再帰的方程式を導出する。
• SU(2)不変テンソル積を体系的に生成するための再帰的関係式 $ \Delta_n(j_1,\dots,j_n) = i[\Delta_2(j_1,j_2), \Delta_{n-1}(j_2,\dots,j_n)] $ を適用する。
• 得られた線形方程式系を解き、係数 $ c_n^{(m)} $ を決定することで、修正された保存量 $ \tilde{Q}_n = Q_n + \sum_m \delta Q_n^{(m)} $ が、摂動ハミルトニアンと $ \mathcal{O}(\lambda^2) $ まで可換になるようにする。
• 補正項のスケーリングを解析し、高次保存量では非局所的項が次第に増加し、係数が発散することで構成法が崩壊することを特定する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 弱く局所的で、SU(2)および並進不変性を持つ摂動下において、可解XXXモデルの局所的・準局所的保存量のうち、どの量が準保存量に拡張可能か？
• RQ2 このような摂動下で、どの程度の次数まで保存量が近似的に保存され続けるのか？ また、高次保存量がなぜ準保存量でなくなるのか？
• RQ3 SU(2)不変テンソル構造（例：$ \Delta_2, \Delta_3, \Delta_4 $）は、対称性と局所性を保ちつつ補正を構築するのにおいて、どのように寄与するか？
• RQ4 準保存量の摂動的構成法は、最初の数次にわたって体系的に拡張可能か？ また、高次での保存性を維持するための障害は何か？
• RQ5 準保存量の崩壊と、時間スケール $ t \sim \lambda^{-2} $ におけるプリススティル化ダイナミクスの出現との関係は何か？

主な発見

• O(λ²)の精度で、第3〜4次程度までの低次の保存量（n ≈ 3–4）のみが準保存量に拡張可能であり、高次保存量は発散する補正のため失敗する。
• 補正項 $ \delta Q_n^{(m)} $ の構成は、$ \Delta_2, \Delta_3, \Delta_4 $ などのSU(2)不変テンソル積に依存しており、再帰的関係により体系的に生成される。
• n=3の場合、$ \tilde{Q}_3^{(4)} $ は $ \Delta_2 $ および $ \Delta_3 $ 項を用いて構築され、重複や不整合を避けるために係数 $ c_3^{(3)}(\{0,1,2\}) = 0 $ と設定される。
• 高次保存量では、必要な補正項が非局所的になり、係数が発散するため、摂動的手法は崩壊する。これにより、正確な準保存性は実現不可能となる。
• 高次保存量が準保存量でなくなる理由は、ほぼ可換な3行列の組が存在しないことと関連しており、演算子代数に根本的な障害があることを示唆する。
• 結果は、摂動を受けたXXX鎖におけるプリススティル化が、全局所的保存量ではなく、最初の数つの準保存量から構成される低ランクの有効GGEによって支配されているという仮説を支持する。