[論文レビュー] Quasi-Controllability and Estimates of Amplitudes of Transient Regimes in Discrete Systems

Victor Kozyakin, Н. В. Кузнецов+1 more|ArXiv.org|Sep 24, 2009

Stability and Control of Uncertain Systems参考文献 16被引用数 3

ひとこと要約

本稿では、新しい概念である準可制御性を用いて離散制御系における一時的アモルトの上限を推定するフレームワークを提案する。準可制御性の尺度を定義することで、安定かつ準可制御性を満たす系について、単位球から出発するすべての状態軌道がこの尺度の逆数で一様に有界であることを証明し、オーバーシュートの構成的事前境界を提供する。この手法により、微小なパrameter摂動に対しても安定性および不安定性のロバスト性が保証される。

ABSTRACT

Families of regimes for discrete control systems are studied possessing a special quasi-controllability property that is similar to the Kalman controllability property. A new approach is proposed to estimate the amplitudes of transient regimes in quasi-controllable systems. Its essence is in obtaining of constructive a priori bounds for degree of overshooting in terms of the quasi-controllability measure. The results are applicable for analysis of transients, classical absolute stability problem and, especially, for stability problem for desynchronized systems.

研究の動機と目的

• 可制御性が低い、または同期がずれている系において、無限大に発散する一時的アモルトの問題に対処すること。
• 一時的状態軌道の最大アモルトを推定する、構成的で事前的な方法を開発すること。
• 準可制御性の度合いと、安定系におけるオーバーシュートの上界との間の関係を確立すること。
• 離散系において、パrameterの微小摂動に対しても安定性および不安定性の性質がロバストに保たれるかを検証すること。
• 絶対安定性および非同期系に適用可能な、大規模な一時的ピークを回避する能力を定量化する計算可能な尺度を提供すること。

提案手法

• 準可制御性の概念を導入：ℝ^N の非ゼロの真部分空間が、族に属するすべての行列に対して不変でないとき、その行列族は準可制御的であると定義する。
• 準可制御性尺度 χ(𝒜) を、σ_{N-1}(𝒜) の最小値の逆数として定義し、準可制御性の度合いを定量化する。
• 行列積の族 𝒜_k(x) 及びそれらの凸包を用いて、離散系における到達可能性と軌道の境界を分析する。
• σ_{N-1}(𝒜) を用いて、特にスイッチングダイナミクスを有する系における状態ベクトルのノルムの境界を導出する。
• リャプノフ型安定性解析と行列ノルム推定を用い、系が安定かつ準可制御的であるとき、すべての n に対して ‖x(n)‖ ≤ 1/χ(𝒜) を証明する。
• 準可制御性尺度の連続性と行列族の収束性を用いて、不安定性のロバスト性を確立する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 可制御性が低い離散系に対して、一時的状態のアモルトに関する構成的で事前的な境界を導出できるか？
• RQ2 状態軌道の最大オーバーシュートは、システムの準可制御性の度合いとどのように関係するか？
• RQ3 離散系の安定性または不安定性は、パrameterの微小摂動に対してもロバストに保たれるか？
• RQ4 提案された尺度は、非同期的または非同期系に効果的に適用可能か？
• RQ5 高次の漸近的安定性を設計した系においても、オーバーシュートが有界に保たれるための条件は何か？

主な発見

• 任意の安定かつ準可制御的な離散系について、単位球から出発するすべての状態軌道は、準可制御性尺度の逆数で一様に有界である：‖x(n)‖ ≤ 1/χ(𝒜)。
• 準可制御性尺度 χ(𝒜) は計算可能であり、完全な可制御性を仮定せずとも、一時的オーバーシュートの直接的で構成的な境界を提供する。
• 系が準可制御的であれば、定理8により、パrameterの微小摂動に対しても安定性がロバストであることが示された。
• 尺度 χ(𝒜) は行列族に関して連続であり、パrameterの微小変化がオーバーシュートの境界に小さな変化しか与えないことを保証する。
• 非同期系において、システムがリャプノフ絶対安定的であり、行列 A が非可約で 1 が固有値でないならば、χ(𝒜) ≤ (αβ^{N−1})^{−1} が成り立ち、安定性に基づく境界が得られる。
• 準可制御性の仮定がなければ、行列族の収束が安定性や有界なオーバーシュートを保証しないことが、反例（例4および5）によって示された。