[論文レビュー] Quasi-Coxeter categories and quantum groups

Andrea Appel, Valerio Toledano-Laredo|arXiv (Cornell University)|Oct 31, 2016

Algebraic structures and combinatorial models被引用数 1

ひとこと要約

この論文は、一般化されたブレード群とアーティンのブレード群の、対象のテンソル冪上の可換で整合性のある作用を備えたテンソル圏としてのブレード付きコクセター圏を導入する。量子化 Kac-Moody代数 U_h(g) のリーヴィ部分代数の量子ウェイリ群作用素と普遍 R-行列が、整形式的カテゴリ O-加群にブレード付きコクセター構造を与えることを確立し、2-圏的量子化を介してこの構造が g のカテゴリ O-表現へと移行される。これにより、量子ウェイリ群作用素のモノドロミー的記述が、半単純リー代数の場合を拡張する。

ABSTRACT

We define the notion of braided Coxeter category, which is informally a tensor category carrying compatible, commuting actions of a generalised braid group B_W and Artin's braid groups B_n on the tensor powers of its objects. The data which defines the action of B_W bears a formal similarity to the associativity constraints in a monoidal category, but is related to the coherence of a family of fiber functors. We show that the quantum Weyl group operators of a quantised Kac-Moody algebra U_h(g), together with the universal R-matrices of its Levi subalgebras, give rise to a braided Coxeter structure on integrable, category O-modules for U_h(g). By relying on the 2-categorical extension of Etingof-Kazhdan quantisation obtained in arXiv:1610.09744, we then prove that this structure can be transferred to integrable, category O-representations of g. These results are used in arXiv:1512.03041 to give a monodromic description of the quantum Weyl group operators of U_h(g) which extends the one obtained by the second author for a semisimple Lie algebra.

研究の動機と目的

• ブレード付きコクセター圏を、一般化されたブレード群とアーティンのブレード群の作用が整合的であるテンソル圏として定義・形式化すること。
• U_h(g) のリーヴィ部分代数の量子ウェイリ群作用素と R-行列が、整形式的カテゴリ O-加群にブレード付きコクセター構造をもたらすことを確立すること。
• 2-圏的エティンフォルト＝カジダン量子化を用いて、この構造を U_h(g)-加群から基礎となるリー代数 g の整形式的カテゴリ O-表現へ拡張すること。
• 量子ウェイリ群作用素のモノドロミー的記述を、半単純リー代数の場合に既に得られている結果を一般化する形で提供すること。

提案手法

• ファイバー関手の族に関連する、結合則に類似た整合性データを用いて、ブレード付きコクセター圏を定義する。
• arXiv:1610.09744 に掲載されたエティンフォルト＝カジダン量子化の 2-圏的拡張を用い、U_h(g) からカテゴリ O への構造の持ち上げを行う。
• カテゴリ O の対象のテンソル冪上での、量子ウェイリ群作用素とリーヴィ部分代数の普遍 R-行列の作用を活用する。
• モノイダル圏の結合則に形式的に類似した性質を用いて、一般化されたブレード群 B_W とアーティンのブレード群 B_n の作用の整合性を確立する。
• ファイバー関手から生じる整合性条件を用いて、ブレード付きコクセター構造の一貫性を保証する。
• 2-圏的量子化による構造の移行を応用し、g のカテゴリ O-表現にブレード付きコクセター構造を獲得する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 一般化されたブレード群とアーティンのブレード群の作用が、対象のテンソル冪上で可換であるテンソル圏構造をどのように形式化できるか。
• RQ2 U_h(g) のカテゴリ O-加群にブレード付きコクセター構造をもたらすために、量子ウェイリ群作用素と普遍 R-行列が果たす役割は何か。
• RQ3 U_h(g)-加群に与えられたブレード付きコクセター構造を、g のカテゴリ O-表現へどのように移行できるか。
• RQ4 構築された構造が、半単純の場合を越えて、量子ウェイリ群作用素のモノドロミー的記述をどのように拡張するか。
• RQ5 この枠組みにおいて、ブレード群作用の整合性を保証する整合性条件は何か。

主な発見

• U_h(g) のリーヴィ部分代数の量子ウェイリ群作用素と普遍 R-行列は、整形式的カテゴリ O-加群に明確に定義されたブレード付きコクセター構造をもたらす。
• この U_h(g)-加群におけるブレード付きコクセター構造は、2-圏的エティンフォルト＝カジダン量子化手順を経て、g の整形式的カテゴリ O-表現へと移行される。
• 得られる構造は、半単純リー代数の場合に先行して得られた結果を一般化した量子ウェイリ群作用素のモノドロミー的記述を提供する。
• B_W と B_n の作用の整合性は、モノイダル圏の結合則に形式的に類似した整合性データから生じる。
• 構成はファイバー関手の整合性に依存しており、テンソル冪の族全体にわたる一貫性を保証する。
• この枠組みは、量子化 Kac-Moody代数への量子ウェイリ群作用素のモノドロミー的解釈を拡張する。