[論文レビュー] Quasi-Deformations of sl_2(\F) using twisted derivations

Daniel Larsson, Sergei Silvestrov|ArXiv.org|Jun 9, 2005

Advanced Topics in Algebra参考文献 10被引用数 23

ひとこと要約

本稿は、可換代数 $\mathcal{A}$ 上のねじれ導分を用いて、Lie代数 $\sigma\mathfrak{sl}_2(\mathbb{F})$ の新しい準変形スキームを導入し、ねじれJacobi恒等式を満たす代数が得られることを示している。この手法により、古典的剛性とは対照的に、$\mathfrak{sl}_2(\mathbb{F})$ がHeisenberg代数や他の3次元Lie代数に非自明に変形可能であることが実証された。パラメータの選定により、二次関係を満たすhom-Lieまたはquasi-hom-Lie代数構造が得られる。

ABSTRACT

In this paper we apply a method devised in \cite{HartLarsSilv1D,LarsSilv1D} to the three-dimensional simple Lie algebra $\sll$. One of the main points of this deformation method is that the deformed algebra comes endowed with a canonical twisted Jacobi identity. We show in the present paper that when our deformation scheme is applied to $\sll$ we can, by choosing parameters suitably, deform $\sll$ into the Heisenberg Lie algebra and some other three-dimensional Lie algebras in addition to more exotic types of algebras, this being in stark contrast to the classical deformation schemes where $\sll$ is rigid. The resulting algebras are quadratic and we point out possible connections to ``geometric quadratic algebras'' such as the Artin--Schelter regular algebras, studied extensively since the beginning of the 90's in connection with non-commutative projective geometry.

研究の動機と目的

• 古典的Gerstenhaber–Grothendieck–Schlessinger理論とは異なる枠組みを提供する、Lie代数の新しい変形理論の構築を目的とし、ねじれ導分を用いた準変形を導入すること。
• $\mathfrak{sl}_2(\mathbb{F})$ が古典的変形において通常は剛性を示すが、本手法により他のLie代数に非自明に変形可能かどうかを調査すること。
• 変形された代数がねじれJacobi恒等式を満たす条件を確立し、hom-Lieまたはquasi-hom-Lie代数構造への一般化を図ること。
• 得られた二次代数と非可換射影幾何における幾何的二次代数（例：Artin–Schelter正則代数）との関係を探索すること。

提案手法

• 可換単位的代数 $\mathcal{A}$ に対して、$\rho: \mathfrak{sl}_2(\mathbb{F}) \to \mathfrak{gl}(\mathcal{A})$ の表現を適用し、$\sigma$-ねじれ導分 $\partial_\sigma$ を用いて作用を変形する。
• 標準的演算子の代わりに $\sigma$-ねじれ版を用いることで、$\widetilde{\mathfrak{g}}$ 上の新しい括弧が得られ、これは $\sigma$ およびスカラー関数 $\delta$ を含むねじれJacobi恒等式を満たす。
• 主な構成では、$\mathcal{A} = \mathbb{F}[t]/(t^N)$ 上で $\sigma(t) = \omega^k t + q_2 t^2$ および $\partial_\sigma(t) = p_0 + p_1 t + \cdots + p_{N-1} t^{N-1}$ を設定し、$\omega^k$ を原始 $N$ 乗根とする。
• 変形された括弧は、$\circlearrowleft_{x,y,z} \left( \langle \sigma(x), \langle y,z \rangle \rangle + \delta \cdot \langle x, \langle y,z \rangle \rangle \right) = 0$ を満たし、これはquasi-hom-Lie代数構造を定義する。
• $N$ 乗根への一般化は、$\sigma(t) = q_1 t + q_2 t^2$ および $\partial_\sigma(t)$ を $N-1$ 次多項式として設定し、$q_1$ を原始 $N$ 乗根とする。
• 得られた代数は二次的であり、変形は極限において元の $\mathfrak{sl}_2(\mathbb{F})$ に戻らないという意味で非自明であり、古典的変形とは明確に区別される。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 本手法により、古典的剛性を回避する方法で $\mathfrak{sl}_2(\mathbb{F})$ が他のLie代数に非自明に変形可能かどうか。
• RQ2 代数 $\mathcal{A}$、自己準同型 $\sigma$、$\sigma$-導分 $\partial_\sigma$ にどのような条件を課すと、変形された代数で一貫したねじれJacobi恒等式が成立するか。
• RQ3 準変形スキームが、Heisenberg代数や他の既知の3次元Lie代数と同型な代数を生成するか。
• RQ4 どのようなパラメータ選定下で、変形された代数がhom-Lieまたはquasi-hom-Lie代数となるか。
• RQ5 得られた二次代数と、Artin–Schelter正則代数などの幾何的二次代数との間に構造的関係があるか。

主な発見

• パラメータ $p_1 \neq 0$、$q_1 = q_2 = 0$、$\delta = \xi_0 + \xi_1 t + \xi_2 t^2$ を選ぶことで、準変形法により $\mathfrak{sl}_2(\mathbb{F})$ がHeisenbergLie代数に非自明に変形可能であることが示された。
• ねじれJacobi恒等式が $\circlearrowleft_{x,y,z} \left( \langle \sigma(x), \langle y,z \rangle \rangle + (\sigma + \mathrm{id})(x) \cdot \langle y,z \rangle \right) = 0$ に簡略化されるような特定のパラメータ選定下で、hom-Lie代数が得られる。
• $q_1 = \omega^k \neq 1$ を原始3乗根とし、$p_0 \neq 0$ とすると、$\delta = \omega^k + \mathbf{w}_1 t + \mathbf{w}_2 t^2$（$\mathbf{w}_1, \mathbf{w}_2$ は $p_i, q_2, \omega^k$ の有理関数）の下で、変形された代数はquasi-hom-Lie恒等式を満たす。
• $N$ 乗根への一般化では、$\sigma(t) = q_1 t + q_2 t^2$ かつ $q_1$ を原始 $N$ 乗根とすると、$\mathbb{F}[t]/(t^N)$ 上で一貫した代数が得られる。
• 得られた代数は二次的であり、本手法により古典的分類を超える特異な3次元Lie代数が得られ、$\mathfrak{sl}_2(\mathbb{F})$ がこの準変形スキームでは剛性を示さないことが実証された。
• 変形された代数はArtin–Schelter正則代数などの幾何的二次代数と関連しており、非可換射影幾何への応用が期待される。