[論文レビュー] Quasi-elliptic cohomology and its Spectrum

Zhen Huan|arXiv (Cornell University)|Mar 20, 2017

Homotopy and Cohomology in Algebraic Topology参考文献 9被引用数 3

ひとこと要約

本稿は、固定点関手への右随伴が存在しないという問題を克服するため、ホモトピー的右随伴を用いて、固定点関手のホモトピー的右随伴を用いて、準楕円コホモロジーを表す直交 G-スペクトルを構成する。この構成は、Tate K-理論や一般化されたモラバ E-理論を含む、一般に等変コホモロジー理論に適用可能であり、グローバルホモトピー論の新たな枠組みを提供し、グローバル楕円コホモロジーの基礎をなす可能性がある。

ABSTRACT

Ginzburg, Kapranov and Vasserot conjectured the existence of equivariant elliptic cohomology theories. In this paper, to give a description of equivariant spectra of the theories, we study an intermediate theory, quasi-elliptic cohomology. We formulate a new category of orthogonal G-spectra and construct explicitly an orthogonal G-spectrum of quasi-elliptic cohomology in it. The idea of the construction can be applied to a family of equivariant cohomology theories, including Tate K-theory and generalized Morava E-theories. Moreover, this construction provides a functor from the category of global spectra to the category of orthogonal G-spectra. In addition, from it we obtain some new idea what global homotopy theory is right for constructing global elliptic cohomology theory.

研究の動機と目的

• 等変楕円コホモロジー理論の直交 G-スペクトルを直接構成することが困難であるという課題に対処すること。
• 中間的理論（例：準楕円コホモロジー）のスペクトルを構成できる、直交 G-スペクトルの新カテゴリ GwS を開発すること。
• カテゴリ GwS が等変楕円スペクトルを収容し、グローバル楕円コホモロジー理論を構築するのに適しているかどうかを検討すること。
• グローバルスペクトルから直交 G-スペクトルへの関手を確立し、グローバルホモトピー論の理解を深めること。
• ガナンの提案を踏まえ、超可換グローバルコホモロジー理論の明示的モデルを、準楕円コホモロジーを介して提供すること。

提案手法

• 固定点関手への右随伴が存在しない問題に対処するため、直交 G-スペクトルの新カテゴリ GwS を導入する。
• 固定点関手のホモトピー的右随伴を用いて、準楕円コホモロジーを表す直交 G-スペクトルを構成する。
• K-理論に類似した性質を持つ $ E $ を用いて、$ QE^{*}_{G}(X) = \left(\prod_{\sigma \in G^{\text{tors}}} E^{*}_{\Lambda(\sigma)}(X^{\sigma})\right)^{G} $ の形をとる理論にこの構成を適用する。
• 構造写像 $ \mu^{QE}_{(g,h)} $ を、ノルムを含む凸結合により定義し、結合性と中心性を保証する。
• 明示的な公式を用いてスペクトル構造を確立し、$ v_1, v_2 $ と $ w_1, w_2 $ を含み、$ \|v_2\|^2 + \|w_2\|^2 \geq 1 $ のときには基点条件を満たす。
• 構成における経路の持ち上げとノルムに基づく補間を用いて、モノイダル公理（結合性、単位元、対称性）を検証する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 固定点関手への右随伴が存在しないにもかかわらず、準楕円コホモロジーのための直交 G-スペクトルを構成できるか？
• RQ2 カテゴリ GwS は、Tate K-理論や一般化されたモラバ E-理論のような等変コホモロジー理論を表すのに適したフレームワークか？
• RQ3 ホモトピー的随伴を用いた準楕円コホモロジースペクトルの構成が、グローバル楕円コホモロジーへの道筋を提供するか？
• RQ4 得られた直交 G-スペクトルは、ある直交スペクトルの基礎スペクトルとして実現可能か、それとも新たなグローバルホモトピー論が必要か？
• RQ5 準楕円コホモロジースペクトルのモノイダル構造は、合成および対称性の下でどのように振る舞うか？

主な発見

• ホモトピー的右随伴を用いて、カテゴリ GwS 内で準楕円コホモロジーの直交 G-スペクトルが明示的に構成された。
• この構成は、K-理論に類似した性質を持つ任意の等変コホモロジー理論 $ E $ に一般化可能であり、$ QE^{*}_{G}(X) = \left(\prod_{\sigma} E^{*}_{\Lambda(\sigma)}(X^{\sigma})\right)^{G} $ のスペクトルを導く。
• スペクトル構造はすべてのモノイダル公理（結合性、単位元の中心性、対称性）を満たしており、ノルムに基づく補間公式により検証された。
• 得られた直交 G-スペクトルは、いかなる直交スペクトルの基礎スペクトルともなっていないため、新たなグローバルホモトピー論の必要性が示された。
• グローバルスペクトルから直交 G-スペクトルへの関手が構成され、超可換グローバルコホモロジー理論への道筋を示唆した。
• モノイダル構造は凸結合により定義され、$ (1 - \sqrt{\|v_2\|^2 + \|w_2\|^2}) \cdot \mu_F + \sqrt{\|v_2\|^2 + \|w_2\|^2} \cdot (v_2 + w_2) $ と表され、ノルムが 1 を超えるときは基点となる。