[論文レビュー] Quasi-exceptional sets and equivariant coherent sheaves on the nilpotent cone

Roman Bezrukavnikov|ArXiv.org|Feb 6, 2001

Algebraic structures and combinatorial models被引用数 10

ひとこと要約

本論文は、nilpotent cone 上の G-不変な一貫的層の導来圏における新しい t-構造を用いて、支配的重みとその中心化子の既約表現を伴う nilpotent 軌道の対の間の自然な全単射を確立する。中間の perversity に対応する perverse t-構造が、標準的対象の quasi-exceptional な集合によって定義される t-構造と一致することを示すことにより、Lusztig と Vogan の予想を幾何的表現論を用いて解決する。

ABSTRACT

In math.AG/0005152 a certain $t$-structure on the derived category of equivariant coherent sheaves on the nil-cone of a simple complex algebraic group was introduced (the so-called perverse $t$-structure corresponding to the middle perversity). In the present note we show that the same $t$-structure can be obtained from a natural quasi-exceptional set generating this derived category. As a consequence we obtain a bijection between the sets of dominant weights and pairs consisting of a nilpotent orbit, and an irreducible representation of the centralizer of this element, conjectured by Lusztig and Vogan (and obtained by other means in math.RT/0010089).

研究の動機と目的

• 支配的重みの集合 Λ⁺ と、その中心化子の既約表現 L を伴う nilpotent 軌道 O の対 (O,L) の集合との間の自然な全単射を構成すること。
• 幾何 Langlands プログラムの深い結果に依存せずに、Dᵇ(Cohᴳ(𝒩)) 上の perverse t-構造を、quasi-exceptional な集合を用いた直接的な幾何的構成によって与えること。
• この t-構造のコア 𝒫 が quasi-hereditary であることを示し、標準的対象と余標準的対象が支配的重みによって添字づけられることを示すこと。
• コア内の既約対象がちょうど交差コホモロジー層 IC_{O,L} であり、(O,L) ∈ O によって添字づけられることを確立すること。
• Lusztig–Vogan 全単射の新しい、初等的な証明を、[B1] や [G] の手法とは独立に与えること。

提案手法

• 支配的重み λ ∈ Λ⁺ によって添字づけられる、双対可能である quasi-exceptional な集合 {∇^λ = A_λ[d]} を用いて、Dᵇ(Cohᴳ(𝒩)) 上に新しい t-構造を定義する。
• 集合 {∇^λ} が導来圏を生成する quasi-exceptional な集合をなしており、関連する t-構造が中間 perversity に対応する perverse t-構造と同倣であることを示す。
• この t-構造のコア 𝒫 が、余標準的対象 ∇^λ と既約対象 IC_{O,L} が (O,L) ∈ O によって添字づけられる quasi-hereditary であることを証明する。
• Springer 解体 π: 𝒩̃ → 𝒩 が semi-small であることと、π_* がコホモロジー次元を保存することを用いて、A_λ[d] が t-構造のハートにあることを検証する。
• 双対性と適切な基底変換を用いて、A_λ[d] の双対が A_{-λ}[d] であることを示し、t-構造の公理を確認する。
• 軌道上のストークワイズコホモロジーの消失条件を用いて、quasi-exceptional な集合から定義される t-構造と perverse t-構造の同値性を確立する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 Dᵇ(Cohᴳ(𝒩)) 上の perverse t-構造は、アフィンフラッグ多様体上の perverse ホモロジー層に依存せずに、quasi-exceptional な集合から直接構成可能か？
• RQ2 支配的重みと nilpotent 軌道およびその中心化子の既約表現の対 (O,L) の間には、自然な全単射が存在するか？
• RQ3 Dᵇ(Cohᴳ(𝒩)) 上の perverse t-構造のコアは、標準的対象と余標準的対象が Λ⁺ によって添字づけられる quasi-hereditary 構造を有するか？
• RQ4 コア内の既約対象は交差コホモロジー層 IC_{O,L} と同一視可能か？
• RQ5 既約対象の基底 [IC_{O,L}] と余標準的対象の基底 [A_λ[d]] 間の変換行列は、対角成分が 1 で上三角行列か？

主な発見

• 中間 perversity に対応する Dᵇ(Cohᴳ(𝒩)) 上の perverse t-構造は、支配的重み λ ∈ Λ⁺ によって添字づけられる quasi-exceptional な集合 {A_λ[d]} によって定義される t-構造と一致する。
• この t-構造のコア 𝒫 は、(O,L) ∈ O によって添字づけられる既約対象 {IC_{O,L}} と λ ∈ Λ⁺ によって添字づけられる余標準的対象 {A_λ[d]} を持つ quasi-hereditary 圈である。
• Hom(IC_{O_λ,L_λ}, A_λ[d]) ≠ 0 という条件を通じて、Λ⁺ と O の間に自然な全単射が確立される。
• 基底 {[IC_{O,L}]} と {[A_λ]} 間の変換行列は、対角成分が 1 の上三角行列であり、全単射の自然性を裏付ける。
• Grothendieck 圈 K⁰(Cohᴳ(𝒩)) は、{[IC_{O,L}]} と {[A_λ]} の両方によって自由生成され、基底変換行列は v⁻¹ を法として上三角行列である。
• 本結果により、幾何 Langlands 対応や [B1]、[G] の結果に依存しない、Lusztig–Vogan 全単射の新しい直接的証明が得られる。