[論文レビュー] Quasi-geostrophic model of the instabilities of the Stewartson layer

Nathanaël Schaeffer, Philippe Cardin|arXiv (Cornell University)|Dec 22, 2003

Geomagnetism and Paleomagnetism Studies参考文献 24被引用数 6

ひとこと要約

本稿では、回転軸対称容器内のストーウォーソン剪断層における不安定性を研究するため、質量保存を発散流で扱う準地軸2次元モデルを構築する。臨界ローザー数の漸近的スケーリング則を導出し、平板容器ではケルビン＝ヘルムホルツ型に類似した$E^{3/4}$依存性、傾斜面を有する容器ではローザー波不安定性に起因する$\beta E^{1/2}$依存性を示す。低エクマン数における数値シミュレーションおよび実験と一致する。

ABSTRACT

We study the destabilization of a shear layer, produced by differential rotation of a rotating axisymmetric container. For small forcing, this produces a shear layer, which has been studied by Stewartson and is almost invariant along the rotation axis. When the forcing increases, instabilities develop. To study the asymptotic regime (very low Ekman number $E$), we develop a quasi-geostrophic two-dimensional model, whose main original feature is to handle the mass conservation correctly, resulting in a divergent two-dimensional flow, and valid for any container provided that the top and bottom have finite slopes. We use it to derive scalings and asymptotic laws by a simple linear theory, extending the previous analyses to large slopes (as in a sphere), for which we find different scaling laws. For a flat container, the critical Rossby number for the onset of instability evolves as $E^{3/4}$ and may be understood as a Kelvin-Helmoltz shear instability. For a sloping container, the instability is a Rossby wave with a critical Rossby number proportional to $βE^{1/2}$, where $β$ is related to the slope. We also investigate the asymmetry between positive and negative differential rotation and propose corrections for finite Ekman and Rossby numbers. Implemented in a numerical code, our model allows us to study the onset over a broad range of parameters, determining the threshold but also other features such as the spatial structure. We also present a few experimental results, validating our model and showing its limits.

研究の動機と目的

• 回転が速い容器に有限の傾斜境界を持つ場合のストーウォン剪断層の線形不安定性を分析すること。
• 既存の漸近的スケーリング則を平板形状に限らない形状、特に球形および傾斜面を有する容器に拡張すること。
• 質量保存を発散する2次元流れによって正しく扱える準地軸モデルを構築すること。
• 広範なエクマン数および容器形状の範囲で不安定化の臨界ローザー数を特定すること。
• 特に地球惑星的流れに関連する低エクマン数領域において、数値的シミュレーションおよび実験とモデルを照合すること。

提案手法

• 回転剪断層における質量保存を正しく満たすために発散流を含む準地軸2次元モデルを定式化する。
• 平板および傾斜面を有する容器形状の両方に対して、線形安定性理論を用いて漸近的スケーリング則を導出する。
• エクマン摩擦およびコリオリ効果を組み込んだ修正された圧力方程式を導入し、容器の傾斜を表すβパラメータを含む。
• スクリーブル法を用い、適応的径方向グリッド解像度を有する条件下で、ストリーム関数ψの固有値問題を解く。
• エクマン数（$10^{-5}$ から $10^{-10}$ の範囲）を広く変動させた数値的シミュレーションを実施し、不安定性の閾値を特定する。
• 球形およびディスク型幾何形状における水槽実験の実験データとモデル予測を比較する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 ストーウォン層における臨界ローザー数のスケーリング則は、特に傾斜面を有する境界と平板境界の間で、容器の幾何形状にどのように依存するか？
• RQ2 準地軸モデルにおける発散流の役割は何か？また、非発散近似に比べて、不安定性閾値の捉え方をどのように改善するか？
• RQ3 なぜ平板容器では臨界ローザー数が$E^{3/4}$に比例し、傾斜面容器では$\beta E^{1/2}$に比例するのか？その背後にある物理的メカニズムは何か？
• RQ4 有限のエクマン数およびローザー数が、正の回転勾配と負の回転勾配の間の非対称性にどのように影響するか？
• RQ5 極めて低いエクマン数（$E < 10^{-5}$）において、準地軸モデルは地球内部に代表されるような状況で、実験的および数値的結果をどの程度正確に再現できるか？

主な発見

• 平板容器では、臨界ローザー数が$\mbox{{Ro}}_c \sim E^{3/4}$に比例し、ケルビン＝ヘルムホルツ型の剪断不安定性メカニズムに一致する。
• 傾斜面を有する容器では、臨界ローザー数が$\mbox{{Ro}}_c \sim \beta E^{1/2}$に比例し、容器の傾斜に起因するローザー波不安定性を示す。
• 本モデルは、エクマン数の広い範囲（$10^{-5}$ から $10^{-10}$）において不安定性閾値を正確に予測でき、数値的シミュレーションおよび実験と一致する。
• 球殻形状の実験データはモデルと良好に一致し、エクマン数$E = 10^{-5}$では臨界ローザー数が$4.0 \times 10^{-2}$、$E = 10^{-10}$では$5.4 \times 10^{-5}$の範囲を示した。
• 本モデルは、正の回転勾配と負の回転勾配の間で顕著な非対称性を明らかにし、特に負の回転勾配のときの不安定化が強く、有限のエクマン数およびローザー数効果を組み込むことで是正される。
• 境界条件の感度解析では、スリップしない境界条件およびエクマンポンプ効果が$\mbox{{Ro}}_c$に強く影響するが、水平方向の発散および体積粘性係数はやや小さいが無視できない影響を示した。