[論文レビュー] Quasi-Hopf $*$-Algebras

M. D. Gould, T. Lekatsas|ArXiv.org|Apr 25, 2006

Algebraic structures and combinatorial models参考文献 17被引用数 7

ひとこと要約

本稿は、$*$-演算とねじれ$Ω$を備えた quasi-Hopf $*$-代数——非coassociativeな設定に一般化された$*$-構造を提供する——を導入する。同種の代数はねじれに関して閉じており、antipode、$*$-演算、ねじれの間の関係を特徴づけ、Majidの実および反実ケースを一般化する2種類の quasi-triangular quasi-Hopf $*$-代数を定義する。

ABSTRACT

We introduce quasi-Hopf $*$-algebras i.e. quasi-Hopf algebras equipped with a conjugation (star) operation. The definition of quasi-Hopf $*$-algebras proposed ensures that the class of quasi-Hopf $*$-algebras is closed under twisting and additionally, that any Hopf $*$-algebra becomes a quasi-Hopf $*$-algebra via twisting. The basic properties of these algebras are developed. The relationship between the antipode and star structure is investigated. Quasi-triangular quasi-Hopf $*$-algebras are introduced and studied.

研究の動機と目的

• 量子場理論および可積分模型の物理的応用に動機づけられ、$*$-Hopf代数の理論を非coassociativeな設定、すなわちquasi-Hopf代数の枠組みへと拡張すること。
• twisted coproduct および co-associator と整合する一貫性のある$*$-構造を quasi-Hopf代数に定義し、物理的ユニタリティおよび双対性を保証すること。
• antipodeが一意でないという点を踏まえ、quasi-Hopf代数における antipode、$*$-演算、ねじれの関係を調査すること。
• R行列の共役性の性質に基づき、2種類のタイプに分類される quasi-triangular quasi-Hopf $*$-代数を導入し、Majidの実および反実ケースを一般化すること。
• quasi-Hopf $*$-代数のクラスがねじれに関して閉じており、$*$-canonical要素が適合するねじれおよびR行列の不変性によって制約を受けることを確立すること。

提案手法

• quasi-Hopf代数に$*$-演算とねじれ$Ω \in H \otimes H$を備えた quasi-Hopf $*$-代数を定義し、$\Delta(a)^\dagger = \Omega \Delta(a^\dagger) \Omega^{-1}$、$\varepsilon(a^\dagger) = \overline{\varepsilon(a)}$、および$((\Phi^\dagger)^{-1} = \Phi_\Omega$を満たすものとする。
• Drinfeldのねじれ構成を用いて、任意のHopf $*$-代数がねじれによって quasi-Hopf $*$-代数に変換され、$*$-代数構造が保存されることを示す。
• Drinfeldねじれの共役を導出し、co-associator が$\Phi_\Omega$を介して変換されることを示し、$*$-共役と整合することを保証する。
• 2種類の quasi-triangular quasi-Hopf $*$-代数を導入：タイプIは$({\cal R}^\dagger)^{-1} = \Omega^T {\cal R} \Omega^{-1}$、タイプIIは$({\cal R}^\dagger)^{-1} = \Omega^T ({\cal R}^T)^{-1} \Omega^{-1}$を満たす。
• *$-canonical要素$\Omega$は一意ではないが、$\Gamma = \Omega C$（$C$は適合ねじれ）を満たす場合、$C$が$R$-行列を保存する限り、$\Gamma$が有効な$*$-構造を与える。
• *$-QTQHAのカテゴリがねじれに関して不変であり、$\Omega^{-1}\Omega^\dagger$が quasi-triangular適合ねじれを定めることが示され、$\Omega$の可能な選択肢に強い制約を課す。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 Hopf $*$-代数の$*$-構造は、非coassociativeな設定、特にquasi-Hopf代数の文脈でどのように一般化できるか？
• RQ2 quasi-Hopf代数において、$*$-演算、coproduct、co-associator の間の整合性を保つために、ねじれ$\Omega$が満たすべき条件は何か？
• RQ3 antipodeが一意でないという点を踏まえ、quasi-Hopf $*$-代数における antipodeと$*$-演算の関係はいかなるものか？
• RQ4 quasi-triangular quasi-Hopf $*$-代数の文脈で、実および反実のR行列条件の自然な一般化は何か？
• RQ5 $*$-canonical要素$\Omega$がねじれによって保存または変換される条件は何か？また、これにより代数にどのような制約が課されるか？

主な発見

• quasi-Hopf $*$-代数のクラスはねじれに関して閉じており、Drinfeldのねじれによって任意のHopf $*$-代数が quasi-Hopf $*$-代数に変換可能である。
• co-associator $\Phi$ とその共役逆数は $((\Phi^\dagger)^{-1} = \Phi_\Omega$ を満たし、$\Phi_\Omega$は$\Omega$による$\Phi$のねじれ版である。これにより$*$-適合性が保証される。
• quasi-triangular quasi-Hopf $*$-代数において、R行列は $({\cal R}^\dagger)^{-1} = \Omega^T {\cal R} \Omega^{-1}$（タイプI）または $({\cal R}^\dagger)^{-1} = \Omega^T ({\cal R}^T)^{-1} \Omega^{-1}$（タイプII）を満たし、Majidの実および反実ケースを一般化する。
• $*$-canonical要素$\Omega$は一意ではない。任意の$\Gamma = \Omega C$（$C$は適合ねじれ）は、$C^T {\cal R} C^{-1} = {\cal R}$ を満たす限り、有効な$*$-構造を与える。この条件は、quasi-triangular適合ねじれを定義する。
• $\Omega^{-1}\Omega^\dagger$ は quasi-triangular適合ねじれでなければならない。これは、$*$-canonical要素$\Omega$の可能な選択肢に強い制約を課す。
• タイプIまたはタイプIIの$*$-QTQHAのカテゴリはねじれに関して不変であり、反対代数構造は$R$-行列$R^T$および$\Omega^T$を用いて$*$-QTQHAの性質を保つ。