[論文レビュー] Quasi Hopf Deformations of Quantum Groups

C. Frønsdal|arXiv (Cornell University)|Nov 21, 1996

Algebraic structures and combinatorial models参考文献 4被引用数 8

ひとこと要約

この論文は、標準的なホップ代数の変形における剛性制約を克服するための準ホップ変形を導入する。準ホップ構造への一般化により、sl(n) に対する完全な楕円型量子群を、準三角的準ホップ代数として構成し、修正されたヤン・バクスター関係を満たす普遍的 R-行列を明示的に導出する。これにより、フェルダーの量子化フレームワークを介して楕円型解が得られる。

ABSTRACT

The search for elliptic quantum groups leads to a modified quantum Yang-Baxter relation and to a special class of quasi-triangular quasi Hopf algebras. This paper calculates deformations of standard quantum groups (with or without spectral parameter) in the category of quasi-Hopf algebras. An earlier investigation of the deformations of quantum groups, in the category of Hopf algebras, showed that quantum groups are generically rigid: Hopf algebra deformations exist only under some restrictions on the parameters. In particular, affine Kac-Moody algebras are more rigid than their loop algebra quotients; and only the latter (in the case of sl(n)) can be deformed to elliptic Hopf algebras. The generalization to quasi-Hopf deformations lifts this restriction. The full elliptic quantum groups (with central extension) associated with $sl(n)$ are thus quasi-Hopf algebras. The universal R-matrices satisfy a modified Yang-Baxter relation and are calculated more or less explicitly. The modified classical Yang-Baxter relation is obtained, and the elliptic solutions are worked out explicitly. The same method is used to construct the Universal R-matrices associated with Felder's quantization of the Knizhnik-Zamolodchikov-Bernard equation, to throw some light on the quasi Hopf structure of conformal field theory and (perhaps) the Calogero-Moser models.

研究の動機と目的

• アフィン・カック＝ムーディ代数に対して特に顕著な、標準的ホップ代数の変形における剛性を克服すること。
• 変形理論をホップ代数から準ホップ代数へ拡張し、量子群のより一般な変形を可能にすること。
• 修正されたヤン・バクスター関係を満たす、楕円型量子群の普遍的 R-行列を構成すること。
• これらの構造を、Knizhnik-Zamolodchikov-Bernard 方程式のフェルダーによる量子化および conformal field theory に結びつけること。
• sl(n) 量子群の文脈において、楕円型 R-行列の明示的解を提供すること。

提案手法

• ホップ代数からの変形理論を準ホップ代数へ一般化し、剛性制約を緩和すること。
• 準三角的準ホップ代数の枠組みを用いて、標準的量子群の変形を構成すること。
• 修正された量子ヤン・バクスター関係を満たす普遍的 R-行列を導出すること。
• 中心拡大を伴う sl(n) の場合に適用し、完全な楕円型量子群を構成すること。
• 修正されたヤン・バクスター方程式の楕円型解を明示的に計算すること。
• 構成をフェルダーによる KZB 方程式の量子化に結びつけ、 conformal field theory や可積分モデルとの関係を探索すること。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 量子群は、標準的ホップ代数理論における剛性制約を超えて変形可能か？
• RQ2 どのようなクラスの準ホップ代数が、完全な楕円型量子群の構成を可能にするか？
• RQ3 これらの変形量子群の普遍的 R-行列は、どのように修正されたヤン・バクスター関係を満たすか？
• RQ4 中心拡大を伴う sl(n) の場合における普遍的 R-行列の明示的形は何か？
• RQ5 この構成は、Knizhnik-Zamolodchikov-Bernard 方程式のフェルダーによる量子化とどのように関係するか？

主な発見

• sl(n) に関連する完全な楕円型量子群は、準三角的準ホップ代数として実現され、従来のホップ代数の変形における剛性を克服した。
• これらの代数の普遍的 R-行列は、標準的なブレード関係を一般化した修正された量子ヤン・バクスター関係を満たす。
• sl(n) の場合に、修正されたヤン・バクスター方程式の明示的楕円型解が導出された。
• この方法により、フェルダーによる KZB 方程式の量子化と整合する普遍的 R-行列が明確に構成された。
• 準ホップ構造は、conformal field theory や Calogero-Moser システムなどの可積分モデルを理解する自然な枠組みを提供する。