[論文レビュー] Quasi-invariance for heat kernel measures on sub-Riemannian infinite-dimensional Heisenberg groups

Fabrice Baudoin, Maria Gordina+1 more|arXiv (Cornell University)|Aug 7, 2011

Geometric Analysis and Curvature Flows参考文献 18被引用数 6

ひとこと要約

本稿では、無限次元の部分リーマン多様体的ヘイゼンベルク群上の熱核測度に対して、カเมロン＝マーチン型の擬不変性を確立し、カメロン＝マーチン部分群の元による平行移動に関して測度が擬不変であることを証明するとともに、Radon-Nikodym導来の$L^p$ノルム推定値を提供する。主な結果は、有限次元射影における一般化された曲率・次元推定に基づくものであり、部分微分型設定における逆Poincaré不等式およびハルナック不等式の導出を可能にする。

ABSTRACT

We study heat kernel measures on sub-Riemannian infinite-dimensional Heisenberg-like Lie groups. In particular, we show that Cameron-Martin type quasi-invariance results hold in this subelliptic setting and give $L^p$-estimates for the Radon-Nikodym derivatives. The main ingredient in our proof is a generalized curvature-dimension estimate which holds on approximating finite-dimensional projection groups. Such estimates were first introduced by Baudoin and Garofalo in \cite{BaudoinGarofalo2011}.

研究の動機と目的

• 従来のリッチ曲率の下界が得られない状況下で、無限次元部分リーマン多様体的設定における熱核測度の擬不変性を確立すること。
• 無限次元ヘイゼンベルク型群上の部分微分型拡散過程へ、カメロン＝マーチン型の結果を拡張すること。
• カメロン＝マーチン部分群の元による平行移動における、熱核測度のRadon-Nikodym導来の$L^p$推定値を提供すること。
• 参照測度が存在しないにもかかわらず、関連する半群がカメロン＝マーチン部分群上で強いフレッリィ性を示すことを示すこと。
• 退化した部分微分型枠組みにおいて、逆Poincaré不等式およびワング型ハルナック不等式を含む関数不等式を構築すること。

提案手法

• BaudoinとGarofalo（2010）の手法を拡張し、有限次元射影群$G_P$における一般化された曲率・次元推定を用いる。
• 有限次元近似群$G_P$から無限次元群$G$への極限手続きを用い、主要な幾何学的および解析的性質を保存する。
• 可換関係と曲率の下界を用いて、$G_P$上で逆Poincaré不等式を導出し、それを$G$へと持ち上げる。
• ハルナック不等式を用いて、熱核密度の比を制御し、Radon-Nikodym導来の$L^p$-有界性を導出する。
• 熱核測度の右平行移動不変性と、逆元に関する対称性を用い、左・右平行移動導来を関連付ける。
• Radon-Nikodym導来の$L^p$-有界性と、遷移密度の連続性を活用し、$G_{CM}$上での半群の一様収束を介して、強いフレッリィ性を確立する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 無限次元部分リーマン多様体的ヘイゼンベルク群上の熱核測度は、カメロン＝マーチン部分群の元による平行移動に関して、依然として擬不変性を保つか？
• RQ2 リッチ曲率の下界が存在しない状況下でも、Radon-Nikodym導来の$L^p$-推定値を確立できるか？
• RQ3 部分微分型で無限次元な設定下で、逆Poincaré不等式およびハルナック不等式はどのように振る舞うか？
• RQ4 このような群上で、部分ラプラシアンに由来する半群は、カメロン＝マーチン部分群上で強いフレッリィ性を示すか？
• RQ5 有限次元における関数不等式は、無限次元部分リーマン多様体的群へどの程度拡張可能か？

主な発見

• 無限次元部分リーマン多様体的ヘイゼンベルク群$G$上の熱核測度$\nu_T$は、カメロン＝マーチン部分群$G_{CM}$の元による左平行移動に関して擬不変性を示す。
• すべての$p \in (1, \infty)$に対して、Radon-Nikodym導来$d(\nu_T \circ L_y^{-1})/d\nu_T$は$L^p(G, \nu_T)$に属し、距離$d(x,y)$とパラメータ$\|\omega\|_2^2/\rho_2$を含む明示的な有界性が得られる。
• $G$上にワング型ハルナック不等式が成立し、指数因子は$d^2(x,y)/(4(p-1)T)$に依存し、曲率補正項$1 + 2\|\omega\|_2^2/\rho_2$を含む。
• 半群$P_T$は$G_{CM}$上で強いフレッリィ性を示す。これは、有界可測関数$f$に対して$P_T f$が連続であり、$d(x,y) \to 0$のとき差$|P_T f(x) - P_T f(y)|$が消えることによって示される。
• $L^p$ノルム推定値は、曲率・次元の下界が確認された有限次元射影$G_P$からの極限的議論によって導出される。
• パスワイズのギルサノフ型定理に依存せず、関数不等式と有限次元近似の収束性に依拠することで、強いフレッリィ性が確立される。