[論文レビュー] Quasi-invariant and pseudo-differentiable measures on a non-Archimedean Banach space. II. Measures with values in non-Archimedean fields

S. V. Lüdkovsky|ArXiv.org|Jun 20, 2001

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ひとこと要約

この論文は、$\mathbf{Q}_p$ などの非アーベル数体上のバナッハ空間における古典的測度論的結果の非アーベル数体版を確立し、$\mathbf{K}_s$ に値をとる擬不変および擬微分可能測度を導入する。非アーベル数体版のボフマン＝コルモゴロフおよびミンロス＝サゾノフの定理を証明し、無限積測度を構成し、非アーベル数体版のカクタニの定理を提示する。また、これらの測度が適切な測度空間の位相的空間において収束するための定理も示す。

ABSTRACT

Quasi-invariant and pseudo-differentiable measures on a Banach space $X$ over a non-Archimedean locally compact infinite field with a non-trivial valuation are defined and constructed. Measures are considered with values in non-Archimedean fields, for example, the field $\bf Q_p$ of $p$- adic numbers. Theorems and criteria are formulated and proved about quasi-invariance and pseudo-differentiability of measures relative to linear and non-linear operators on $X$. Characteristic functionals of measures are studied. Moreover, the non-Archimedean analogs of the Bochner-Kolmogorov and Minlos-Sazonov theorems are investigated. Infinite products of measures are considered and the analog of the Kakutani theorem is proved. Convergence of quasi-invariant and pseudo-differentiable measures in the corresponding spaces of measures is investigated.

研究の動機と目的

• 非アーベル数体上のバナッハ空間における古典的測度論的結果（例えば、擬不変性、擬微分可能性、特性関数型）を、$\mathbf{Q}_p$ のような体へと拡張すること。
• 実数値測度と $\mathbf{K}_s$-値測度との間の $\sigma$-加法性、可積分性、収束性における根本的な相違を扱うこと。
• 非アーベル数体上のバナッハ空間における線形および非線形変換の下で、広範なクラスの擬不変および擬微分可能測度を構成すること。
• 測度の特性関数型に対する非アーベル数体版のボフマン＝コルモゴロフおよびミンロス＝サゾノフの定理を確立すること。
• このような測度の収束を、測度空間において、その擬不変性および擬微分可能性の性質を組み合わせて調べること。

提案手法

• 非アーベル数体 $\mathbf{K}$ 上のバナッハ空間 $X$ に値をとる $\mathbf{K}_s$-値測度を定義し、$\mathbf{Q}_s$ の有限拡大に値をとることを想定する。
• 弱分布および測度 $\mu$ のための特性関数型 $\theta(z) = \hat{\mu}(z)$ を導入し、非アーベル数体設定におけるその性質を研究する。
• 無限積測度を構成し、非アーベル数体版のカクタニの定理（積測度の同値性および特異性）を証明する。
• 古典的微分可能性が非自明な微分可能関数が存在しない状況において、一般化された微分作用素 $\tilde{D}^b_{U_*}$ を用いて測度の擬微分可能性を定義する。
• エゴロフ型条件および $\mathbf{K}_s$-値測度に適応されたルベーグ収束定理を用いて、測度空間における収束を分析する。
• $\Phi_4$-フィルターおよび $\hat{\Phi}_4$-フィルターを用いて、変換下での測度の収束および同値性を特徴づけ、$Bco(X)$ およびラドン型正則性の構造を活用する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 $\mathbf{K}_s$-値測度の特性関数型に対する非アーベル数体版のボフマン＝コルモゴロフおよびミンロス＝サゾノフの定理は何か？
• RQ2 非アーベル数体バナッハ空間上の $\mathbf{K}_s$-値測度に対して、擬不変性および擬微分可能性はどのように定義され、特徴づけられるか？
• RQ3 測度空間における擬不変および擬微分可能測度の列の収束を保証する条件は何か？
• RQ4 非アーベル数体バナッハ空間における無限積測度に対する非アーベル数体版のカクタニの定理は何か？
• RQ5 非アーベル数体値測度の位相的および代数的性質は、実数値測度とどのように異なり、特に $\sigma$-加法性およびラドン＝ニコディム性質においてどのような相違が生じるか？

主な発見

• 非アーベル数体版のボフマン＝コルモゴロフの定理が確立され、$\mathbf{K}_s$-値設定における測度がその特性関数型によって特徴づけられることを示した。
• ミンロス＝サゾノフの定理が非アーベル数体に拡張され、双対空間上の関数型が測度から生じるための条件が得られた。
• 非アーベル数体バナッハ空間における無限積測度に対して、カクタニの定理の類似が証明され、積測度の同値性および特異性が決定された。
• この論文では、擬微分可能測度は必ず擬不変であることが証明され、非アーベル数体枠組みにおいて二つの概念が結びつけられた。
• エゴロフ条件および $\mathbf{K}_s$-値 $L^1$-空間におけるルベーグ型収束を用いて、擬不変および擬微分可能測度の列に対する収束定理（定理 5.7–5.10）が確立された。
• $\Phi_4$-フィルターの存在および $\hat{\Phi}_4$-フィルターとの関係が、変換された測度の収束を特徴づけるために用いられ、$\tilde{D}^b_{U_*}$-微分が $\mu$-ほとんど everywhere で密度関数 $\rho_\mu(g,x)$ と一致することが示された。