[論文レビュー] Quasi-Invariant Optimal Control Problems

Delfim F. M. Torres|ArXiv.org|Feb 21, 2003

Optimization and Variational Analysis参考文献 19被引用数 21

ひとこと要約

本稿は、変換パラメータの1次項まででしか不変でない問題に対しても保存則を導出可能となる一般化された準不変性の概念を導入することで、最適制御問題におけるネーターの定理を拡張する。主な貢献は、1パラメータ族の変換に関して準不変である系に対して、ポントレヤーギンの極値曲線に沿った保存量を特定する新しいネーター型定理の確立であり、古典的不変性を満たさない時間最適制御の例を通じてその有効性が示されている。

ABSTRACT

We study in optimal control the important relation between invariance of the problem under a family of transformations, and the existence of preserved quantities along the Pontryagin extremals. Several extensions of Noether theorem are provided, in the direction which enlarges the scope of its application. We formulate a more general version of Noether's theorem for optimal control problems, which incorporates the possibility to consider a family of transformations depending on several parameters and, what is more important, to deal with quasi-invariant and not necessarily invariant optimal control problems. We trust that this latter extension provides new possibilities and we illustrate it with several examples, not covered by the previous known optimal control versions of Noether's theorem.

研究の動機と目的

• 1パラメータ族の変換における厳密な不変性要件を緩和して準不変性にすることで、最適制御におけるネーターの定理を一般化すること。
• 厳密に不変ではないが1次不変性条件を満たす問題に適用可能な、保存則を導出するより広範な枠組みを確立すること。
• ラグランジュ関数および力学系が変換パラメータsのo(s)項まで不変である場合に、最適制御系における保存量を体系的に特定する手法を提供すること。
• 従来の最適制御版ネーターの定理の適用範囲を超えている例を通じて、新定理の適用可能性を示すこと。
• ポントレヤーギン最大原理の文脈において、多パラメータ変換と準不変性を統合することで、既存の結果を統一的かつ拡張すること。

提案手法

• 最適制御問題における準不変性の一般化された定義を導入し、変換された汎関数が元のものと変換パラメータsのo(s)項の差異を除いて一致することを規定する。
• 1パラメータ族の変換における準不変性とポントレヤーギン極値曲線に沿った保存量の存在を結びつける新しいネーター型定理（定理5.1）を導出する。
• ハミルトニアン形式とポントレヤーギン最大原理を用いて、随伴系および最大化条件を含む最適性の必要条件を導出する。
• 基本不変性定理（定理4.1）を用い、変換された状態変数および制御変数の時間微分がo(s)項を除いて元の力学系と一致することを確認することで、準不変性を検証する。
• 変換生成子の偏微分とコストート変数ψを含む式を用いて、保存量を構成する。
• 時間最適制御問題（L=1）に対して手法を検証し、汎関数および力学系が厳密に不変ではないが、F≡0またはF≠0の下で準不変性条件を満たす場合、正確な保存則が得られることを示す。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 最適制御におけるネーターの定理は、変換パラメータの1次項まででしか不変でない系にまで拡張可能か？
• RQ2 多パラメータを持つ変換における準不変性の下で、最適制御問題における保存量の一般形はどのように表されるか？
• RQ3 時間微分を用いた変換された変数の性質を検証することで、制御系および関連汎関数の準不変性を体系的に確認する方法は何か？
• RQ4 特に時間最適制御問題や非定数ラグランジュ関数を有する問題において、新規の準不変性フレームワークが古典的ネーターの定理では得られない新たな保存則を導くのはどのようなクラスの問題か？
• RQ5 適切な関数Fを選択することで汎関数を正確な微分形式まで不変にした場合、保存量はどのように変化するか？

主な発見

• 本稿は、1パラメータ族の変換に関して準不変である最適制御問題に対して、ポントレヤーギン極値曲線に沿った保存量の存在を保証する新しいネーター型定理（定理5.1）を確立した。
• 例6.3では、指定された変換における準不変性により、保存則 $ \psi_{1}(t)(x_{1}(t)-t) + \psi_{2}(t)x_{2}(t) + \psi_{3}(t)x_{3}(t) + 2\psi_{4}(t)x_{4}(t) \equiv \text{constant} $ が成立する。
• 例6.4では、力学系にo(s)項を含む準不変変換から、保存量 $ 2\psi_{x}(x-t) + \psi_{y}y + \psi_{z}z $ が導出された。
• 汎関数を $ F = s x_3 $ または $ F = s z $ と修正することで、問題が厳密に不変になるようにした場合、保存量にはそれぞれ $ \psi_0 x_3 $ または $ \psi_0 z $ の追加項が加わる。
• 古典的不変性を満たさない時間最適制御問題においても、本手法は新たな保存則を的確に同定でき、準不変性フレームワークの広範な適用可能性を示している。
• 本フレームワークは多パラメータ変換を許容し、古典的不変性を超えてネーターの定理の適用範囲を拡張し、従来では取り扱いが困難であったケースにおいても保存量の同定を可能にした。