[論文レビュー] Quasi-isometric rigidity of non-cocompact S-arithmetic lattices

Kevin Wortman|arXiv (Cornell University)|Apr 11, 2005

Advanced Topics in Algebra被引用数 1

ひとこと要約

この論文は、非共通格のS-整数型群の準等長分類を完成させ、それらの群が同一の数体上の同じ代数群から生じ、かつ無限遠の場所の集合も同じであるときかつそのときに限り、それらが準等長であることを証明した。この結果は、特性0の局所コンパクト体上の単純なリー群におけるS-整数型格子について、最終的な剛性定理を確立し、幾何的群論および幾何的剛性論における長年の分類問題を解決した。

ABSTRACT

Throughout we let K be an algebraic number field, VK the set of all inequivalent valuations on K, and V ∞ K ⊆ VK the subset of archimedean valuations. We will use S to denote a finite subset of VK that contains V ∞ K, and we write the corresponding ring of S-integers in K as OS. In this paper, G will always be a connected non-commutative absolutely simple algebraic K-group. Any group of the form G(OS) is called an S-arithmetic group. For example, if m ∈ N, then PGLn(Z[1/m]) is an S-arithmetic group. The purpose of this paper is to complete the quasi-isometric classification of non-cocompact S-arithmetic groups that was begun by Schwartz, Farb, Eskin, and Taback. This is the final step in classifying up to quasi-isometry all of the lattices in semisimple Lie groups over nondiscrete locally compact fields of characteristic 0. Specifically, we show: Main Result. If G(OS) is a non-cocompact S-arithmetic group that is not

研究の動機と目的

• シュワーツ、ファーブ、エスキン、タバックが開始した非共通格S-整数型群の準等長分類を完成させること。
• 特性0の非離散局所コンパクト体上の単純なリー群における格について、最終的な剛性結果を確立すること。
• 非共通格S-整数型群がいつ準等長であるかを、それらの代数的および算術的データに基づいて特定すること。
• 従来の準等長剛性に関する結果を非共通格の場合に拡張し、分類計画における主要なギャップを埋めること。

提案手法

• 数体K上の連結で非可換かつ絶対的単純な代数群Gに関するS-整数型群G(OS)の構造を利用する。
• 特に、S-整数型群が対称空間およびビルディング上で作用する方法を活用して、準等長剛性の幾何的手法を適用する。
• 数体におけるS-整数の分類およびグローバル体上の代数群の理論を用いて、群の準等長型を分析する。
• Sがすべての実数的場所を含むという事実に依拠することで、S-整数型群が非共通格となり、幾何的分類が可能になることを保証する。
• 関連するリーマン幾何的およびユークリッド的ビルディングの構造と、対称空間の剛性を用いて、準等長型を区別する。
• S-整数型群およびその準等長不変量（特にランクとルート系のデータ）に関する既存の結果を応用する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 二つの非共通格S-整数型群がいつ準等長であるか？
• RQ2 非共通格S-整数型群の準等長型を決定づける代数的および算術的不変量は何か？
• RQ3 Sにすべての実数的場所が含まれることの準等長分類に与える影響は？
• RQ4 非共通格の場合において、S-整数型群の準等長剛性を完全に特徴づけることができるか？
• RQ5 Gの絶対的単純性および非可換性が分類において果たす役割は何か？

主な発見

• 二つの非共通格S-整数型群G(OS)とG'(OS')が準等長であるための必要十分条件は、それらが同一の数体K上の同じ代数群Gから生じ、かつすべての実数的場所を含む同じ集合Sを持つことである。
• 非共通格S-整数型群の準等長型は、群Gと集合S、特に無限遠の場所の集合によって完全に決定される。
• この結果により、特性0の非離散局所コンパクト体上の単純なリー群におけるすべての格の準等長分類が完成した。
• 証明により、代数群と集合Sが捉えるのを越えて、追加の準等長不変量は存在しないことが示された。
• 非共通格の場合も、共通格の場合と同様に剛性が成立することが示されたが、幾何的および算術的制約が異なる。
• 最終的な分類は、幾何的群論、代数群論、および数論の統合を通じて達成された。