[論文レビュー] Quasi-isometries and rigidity of solvable groups

Alex Eskin, David Fisher+1 more|ArXiv.org|Nov 27, 2005

Geometric and Algebraic Topology参考文献 18被引用数 3

ひとこと要約

本稿では、非ノルム型可解群における準等長的剛性を確立し、3次元の可解リー群 $\operatorname{Sol}$ に準等長的な任意の有限生成群は、$\operatorname{Sol}$ の中で実際には格子を含むことを証明している。著者らは、可解リー群の自己準等長自己同型を分類するための、粗い微分と呼ばれる新しい技法を導入し、長年の予想を解決するとともに、ランプライト群やDiestel-Leader図形への結果の拡張を達成した。

ABSTRACT

In this note, we announce the first results on quasi-isometric rigidity of non-nilpotent polycyclic groups. In particular, we prove that any group quasi-isometric to the three dimenionsional solvable Lie group Sol is virtually a lattice in Sol. We prove analogous results for groups quasi-isometric to $R \ltimes R^n$ where the semidirect product is defined by a diagonalizable matrix of determinant one with no eigenvalues on the unit circle. Our approach to these problems is to first classify all self quasi-isometries of the solvable Lie group. Our classification of self quasi-isometries for $R \ltimes \R^n$ proves a conjecture made by Farb and Mosher in [FM4]. Our techniques for studying quasi-isometries extend to some other classes of groups and spaces. In particular, we characterize groups quasi-isometric to any lamplighter group, answering a question of de la Harpe [dlH]. Also, we prove that certain Diestel-Leader graphs are not quasi-isometric to any finitely generated group, verifying a conjecture of Diestel and Leader from [DL] and answering a question of Woess from [SW],[Wo1]. We also prove that certain non-unimodular, non-hyperbolic solvable Lie groups are not quasi-isometric to finitely generated groups. The results in this paper are contributions to Gromov's program for classifying finitely generated groups up to quasi-isometry [Gr2]. We introduce a new technique for studying quasi-isometries, which we refer to as "coarse differentiation".

研究の動機と目的

• 非ノルム型多可解群、特に3次元可解リー群 $\operatorname{Sol}$ in における準等長的剛性を確立すること。
• $\mathbb{R} \ltimes \mathbb{R}^n$ として定義される可解リー群（行列が単位円上に固有値を持たない1つの行列式を持つ対角化可能行列による作用）の自己準等長自己同型を分類すること。
• FarbとMosherによる可解群の準等長的剛性に関する予想および、DiestelとLeaderによるDiestel-Leader図形に関する予想を解決すること。
• 準等長的剛性の適用範囲をランプライト群および非ユニモジュラー可解リー群に拡張すること。
• 粗い微分という技法を導入・適用し、漸近的コーンに依存しない準等長の研究のための新しい手法を提供すること。

提案手法

• 漸近的コーンの使用を避けるために、度量空間上で直接準等長を分析できるように、粗い微分と呼ばれる新しい技法を開発すること。
• ボックス内の測地線に沿った重み付き平均を用いて、準等長写像のもとで粗く保存される測度を構成し、幾何の非対称性を活用すること。
• 粗く保存される高さ関数を活用して、ボックス内での向きの反転を防ぎ、幾何的構造の剛性を保証すること。
• 自己準等長自己同型の分類を応用し、無限遠境界上の群作用を通じて剛性結果を導出すること。
• Tullia Dymarz や Mosher-Sageev-Whyte の既存の結果を活用し、ランプライト群およびDiestel-Leader図形における準等長的剛性を導出すること。
• 同じ粗い微分フレームワークを用いて、ある種の非ユニモジュラーで非双曲的可解リー群が、いかなる有限生成群とも準等長的同型でないことを証明すること。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 $\operatorname{Sol}$ に準等長的な群は、$\operatorname{Sol}$ の中で実際には格子を含むか？
• RQ2 多可解群のクラスは、すなわち多可解性が幾何的性質であるか、準等長的に剛性を示すか？
• RQ3 Diestel-Leader図形は、いかなる有限生成群とも準等長的同型であるか？
• RQ4 ランプライト群の準等長型は幾何的に特徴付けられるか？
• RQ5 非ユニモジュラーで非双曲的可解リー群は、有限生成の世界において準等長的モデルを有するか？

主な発見

• $\operatorname{Sol}$ に準等長的な任意の群は、実際には $\operatorname{Sol}$ の中で格子を含むことが示され、非ノルム型可解群における準等長的剛性の初の結果が得られた。
• 行列作用が指定された $\mathbb{R} \ltimes \mathbb{R}^n$ の自己準等長自己同型群は、関連する対角化可能作用を保存する自己同型群と同型であることが示された。
• FarbとMosherによる可解群の準等長的剛性に関する予想は、行列式が1で単位円上に固有値を持たない行列による作用を持つ群 $\mathbb{R} \ltimes \mathbb{R}^n$ のクラスにおいて確認された。
• $m \neq n$ であるような特定のDiestel-Leader図形 $DL(m,n)$ が、いかなる有限生成群とも準等長的同型でないことが証明され、DiestelとLeaderの予想が検証された。
• de la Harpeの問いを解決し、ランプライト群に準等長的な群を特徴づけた。
• 非ユニモジュラーで非双曲的可解リー群が、いかなる有限生成群とも準等長的同型でないことが示され、剛性結果の適用範囲が拡張された。