[論文レビュー] Quasi-isometry classification of right-angled Artin groups II: several infinite out cases

Jingyin Huang|arXiv (Cornell University)|Mar 8, 2016

Geometric and Algebraic Topology参考文献 4被引用数 7

ひとこと要約

本稿では、無限外自己同型群をもつ2つの新しいクラスの右回転アーリン群（RAAG）—特に弱いタイプIおよびタイプIIのRAAG—について、2つのRAAGが quasi-isometric であるための必要十分条件が、それらが共通部分群をもつことであることを示すことで、quasi-isometry の剛性を確立する。著者らは、再構成写像の失敗に起因する課題を克服するため、変形論的アプローチと立方体化技術を導入し、定義グラフに基づいて quasi-isometry を決定するアルゴリズムを提供する。

ABSTRACT

We are motivated by the question that for which class of right-angled Artin groups (RAAG's), the quasi-isometry classification coincides with commensurability classification. This is previously known for RAAG's with finite outer automorphism groups. In this paper, we identify two classes of RAAG's, where their outer automorphism groups are allowed to contain adjacent transvections and partial conjugations, hence infinite. If $G$ belongs to one of these classes, then any other RAAG $G'$ is quasi-isometric to $G$ if and only if $G'$ is commensurable to $G$. We also show that in this case, there exists an algorithm to determine whether two RAAG's are quasi-isometric by looking at their defining graphs. Compared to the finite out case, as well as the previous quasi-isometry rigidity results for symmetric spaces, thick Euclidean buildings and mapping class groups, the main issue we need to deal with here is the reconstruction map may not have nice properties as before, or may not even exist. We introduce a deformation argument, as well as techniques from cubulation to deal with this issue.

研究の動機と目的

• 外自己同型群が有限でない場合のRAAGに対するquasi-isometryの剛性結果を拡張すること。
• 外自己同型群が無限大である場合でも、quasi-isometry が共通部分群を意味するようなRAAGの新たなクラスを同定すること。
• 外自己同型群が無限大である場合に、再構成写像が存在しない、または望ましい性質を備えないという課題を解消すること。
• 標準的な再構成写像の必要性を回避するため、変形に基づく手法と立方体化技術を活用すること。
• 定義グラフに基づいて、2つのRAAG間のquasi-isometryを決定するアルゴリズムを提供すること。

提案手法

• 特にスターや分離条件に関連する構造的性質に基づき、弱いタイプIおよびタイプIIのRAAGの概念を導入する。
• 拡張複体とそのティア／ブランチを用いて、粗い幾何とquasi-isometry不変量を分析する。
• 壁やフラットの構造を通じて、RAAGの幾何を立方体化技術で研究する。
• 再構成写像が存在しない、またはquasi-isometricでない場合に対処するための変形論的アプローチを開発する。
• RAAGの素性分割複体間の単体的同型を構成し、それらの粗い構造を比較する。
• 交換関係を用いて、定義グラフの単体的埋め込みから群の単射準同型を定義し、適切な定義とquasi-isometry不変性を保証する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 外自己同型群が無限大であるRAAGのどのクラスに対して、quasi-isometry が共通部分群を意味するか？
• RQ2 再構成写像が存在しない、または望ましい性質を欠く場合、それを回避または置き換えることは可能か？
• RQ3 立方体化と変形技術をどのように用いることで、複雑な外自己同型群をもつRAAGにおける剛性を確立できるか？
• RQ4 定義グラフのどのグラフ論的不変量が、外自己同型群が無限大であるRAAGのquasi-isometry型を決定するか？
• RQ5 2つのRAAG間のquasi-isometryを、それらの定義グラフのみに基づいて決定するアルゴリズムは存在するか？

主な発見

• 弱いタイプIまたはタイプIIのRAAGは、quasi-isometryの剛性条件を満たす。すなわち、2つのこのようなRAAGは、かつて共通部分群をもつことと、quasi-isometricであることとが同値である。
• 弱いタイプIのRAAGに対しては、再構成写像が常に存在し、このクラスは分離閉じたスターやスターセットの特定の結合条件の不在によって特徴づけられる。
• タイプIIの場合、再構成写像が存在しない可能性があるが、変形論的アプローチと立方体化技術により、依然として剛性が達成される。
• 定義グラフの分析を通じて、特に素性分割複体を介して、RAAG間のquasi-isometryを決定するアルゴリズムが構成された。
• 素性分割複体 $ cal{P}( cal{G})$ はquasi-isometry不変量であり、この複体同士の同型が、対応するRAAGのquasi-isometryを意味する。
• $ cal{P}( cal{G})$ と $ cal{P}( cal{G}')$ が同型であるが、$G$ と $G'$ がquasi-isometricでないような明示的例が構成され、より細かい不変量の必要性が示された。