[論文レビュー] Quasi-Lie bialgebroids and twisted Poisson manifolds

Dmitry Roytenberg|ArXiv.org|Dec 17, 2001

Homotopy and Cohomology in Algebraic Topology参考文献 11被引用数 32

ひとこと要約

本稿は、シンプレクティック超多様体上のハミルトニアン関数を用いたホモロジー的枠組みを導入し、準リー双代数的バンドルを定式化する。この枠組みにより、3形式を伴うねじれ付きポアソン構造と一般化されたリー双代数的バンドルを統一的に扱う。主な貢献は、コルタン代数的構造を回復し、ゲージ同値なねじれ付きポアソン多様体が同型な準リー双代数的バンドルをもたらすことを示すスペクトル系列および導来括弧構成である。

ABSTRACT

We develop a theory of quasi-Lie bialgebroids using a homological approach. This notion is a generalization of quasi-Lie bialgebras, as well as twisted Poisson structures with a 3-form background which have recently appeared in the context of string theory, and were studied by Ševera and Weinstein using a different method.

研究の動機と目的

• シンプレクティック超多様体とハミルトニアン関数を用いた、準リー双代数的バンドルのホモロジー理論の構築。
• 閉じた3形式を伴うねじれ付きポアソン多様体に対して、シュェベラとワインシュタインのコルタン代数的アプローチの代替を提供すること。
• 準リー双代数的バンドルと多重量場または微分形式上の微分準ゲルステンハーバー代数の間の対応関係を確立すること。
• ホモロジー的ダブルにおける正準変換を通じて、ゲージ変換がねじれ付きポアソン幾何学において果たす役割を明確化すること。
• ゲージ同値なねじれ付きポアソン構造が同型な準リー双代数的バンドルおよび同型なスペクトル系列をもたらすことを示すこと。

提案手法

• シンプレクティック超多様体 𝔈 = T*ΠA 上の3つのハミルトニアン μ, γ, φ（それぞれ次数 (1,2), (2,1), (0,3)）を用いて、準リー双代数的バンドルを定義する。
• 全ハミルトニアン Θ = μ + γ + φ が自分自身とポアソン可換、すなわち {Θ, Θ} = 0 であることを要請することで、準リー双代数的バンドルの公理を符号化する。
• 代数関数の代数上の微分を生成するホモロジー的ベクトル場 D = {Θ, ·} を持つホモロジー的ダブル (𝔈, D) を構成する。
• コスマン＝シュバルツバックの導来括弧構成を用いて、ホモロジー的ダブルから A ⊕ A* 上のコルタン代数的構造を回復する。
• ハミルトニアンベクトル場 X_ω もしくは X_π のフローによる ω ∈ Γ(∧²A*) もしくは π ∈ Γ(∧²A) によるねじれを適用することで、新たな準リー双代数的バンドル構造を得る。
• 基底多様体 M 上で自明に作用する次数を保存する正則変換のなすゲージ群 𝒢 を因数分解することで、ゲージ対称性のリー理論的解釈を可能にする。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 シンプレクティック超多様体上のホモロジー的メソッドを用いて、準リー双代数的バンドルを体系的に構成する方法は何か？
• RQ2 準リー双代数的バンドルに対応する正確な代数的構造（例えば、準ゲルステンハーバー代数）は何か？
• RQ3 ゲージ変換はねじれ付きポアソン構造にどのように作用するのか？ その代数的および幾何的解釈は何か？
• RQ4 ホモロジー的ベクトル場 D のコホモロジーと、それへ収束するスペクトル系列との関係は何か？
• RQ5 ねじれを施した場合、微分および括弧構造はどのように変形され、それらを記述する方程式は何か？

主な発見

• 全ハミルトニアン Θ = μ + γ + φ が自己可換であることは、三つ組 (A, A*, φ) が準リー双代数的バンドルをなすための必要十分条件であり、これはリー双代数的バンドルを一般化する。
• ホモロジー的ダブル (𝔈, D) と D = {Θ, ·} を用いることで、導来括弧構成により A ⊕ A* 上にコルタン代数的構造が得られる。
• ホモロジー的ダブル (𝔈, D) に関連するスペクトル系列は、D のコホモロジーへ収束し、コホモロジー理論のフィルトレーションを提供する。
• 2形式 ω によるゲージ変換は、準リー双代数的バンドル構造を保存し、Θ_{φ−dω, τ_{−ω}π} = Φ*Θ_{φ,π} を満たす。これにより、対応する代数が同型であることが示される。
• ねじれ付きポアソン多様体 (M, π, φ) に対して、多重量場上の変形微分は d_{γ_π} = [π, ·] + ½[π, π, ·] で与えられ、括弧 [·,·]_{μ_π} は φ によって制御されるホモトピーを除き、一般化されたヤコビ恒等式を満たす。
• 3形式 φ のコホモロジー類はゲージ変換のもとで保存され、局所的にはすべての φ-ねじれ付きポアソン構造が通常のポアソン構造とゲージ同値である。