[論文レビュー] Quasi likelihood analysis of point processes for ultra high frequency data

Teppei Ogihara, Nakahiro Yoshida|arXiv (Cornell University)|Dec 5, 2015

Point processes and geometric inequalities参考文献 29被引用数 5

ひとこと要約

本稿は、超高頻度金融データに特化した点過程回帰モデルの準尤度解析フレームワークを導入し、確率的共変数を含むハーケス型強度ダイナミクスに一般化する。統計的確率場の多項型大偏差推定を確立することで、非定常的かつ高強度のサンプリング状態下での最尤推定量およびベイズ推定量の漸近的理論を可能にする。

ABSTRACT

We introduce a point process regression model that is applicable to price models and limit order book models. Hawkes type autoregression in the intensity process is generalized to a stochastic regression to covariate processes. We establish the so-called quasi likelihood analysis, which gives a polynomial type large deviation estimate for the statistical random field. We derive large sample properties of the maximum likelihood type estimator and the Bayesian type estimator when the intensity processes become large under a finite time horizon. There appears non-ergodic statistics. A classical approach is also mentioned.

研究の動機と目的

• 標準的漸近理論が非定常性およびブラウン運動の欠如により失敗する超高頻度金融データにおける統計的推論の課題に対処する。
• リード・ラグ効果、マイクロ構造ノイズ、自己励起効果を、確率的共変数およびハーケス型ダイナミクスを用いて捉える点過程回帰モデルを構築する。
• 有限時間枠における漸近的解析、特に高強度プロセスを伴う状況下で、推定量の大標本的性質を導出するための準尤度解析（QLA）フレームワークを確立する。
• 超高頻度データに由来する非定常的統計モデルにおける最尤推定量およびベイズ型推定量の理論的裏付けを提供する。
• 古典的統計理論を、非同期サンプリングやマイクロ構造効果といった高頻度点過程の特徴を反映させるように拡張する。

提案手法

• 強度 $ \lambda^n(t,\theta) = g^n(t,\theta) + \int_{\hat{T}_0}^{t-} K^n(t,s,\theta) dX^n_s $ を持つ $ d $ 次元の点過程 $ N^n $ を提案する。ここで $ g^n $ と $ K^n $ は確率的共変数およびカーネル関数である。
• 強度プロセスを共変数 $ g^n $, $ K^n $ および適応的増加過程 $ X^n $ における確率的回帰としてモデル化し、ハーケス過程を確率的共変数を含む形に一般化する。
• 準尤度解析（QLA）を用いて統計的確率場の多項型大偏差推定を導出し、非定常的条件下での漸近的解析を可能にする。
• レングラルトの不等式およびマルティンググール理論を用いて、共変動項の確率的収束を証明し、高強度サンプリング下での推定量の安定性を保証する。
• QLAフレームワークを用いて、母過程が非定常であっても推定量のモーメント収束および漸近正規性を確立する。
• ヤコブの定理およびラドン＝ニコディム微分を活用して、マルティンググール成分と半マルティンググール成分間の共変動を分析し、推定フレームワークの一貫性を保証する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 どのようにして、自己励起効果、外部要因効果、およびリード・ラグダイナミクスを捉える点過程回帰モデルを構築できるか？
• RQ2 強度プロセスが有限時間枠内で大きくなる場合、最尤推定量およびベイズ型推定量の漸近的挙動はどのようになるか？
• RQ3 非定常的統計が高強度・非同期点過程から生じる状況に対処できる準尤度解析フレームワークを構築できるか？
• RQ4 マルティンググール成分と半マルティンググール成分間の共変動項の確率的有界性および収束性を保証する条件は何か？
• RQ5 標準的定常性仮定が成り立たない状況下で、QLAフレームワークがどのように多項型大偏差推定を可能にするか？

主な発見

• 本稿は、非定常的条件下であっても統計的確率場の多項型大偏差推定を導く準尤度解析フレームワークを確立した。
• QLAフレームワーク下で、定常性が欠如しても最尤推定量およびベイズ型推定量が一貫的かつ漸近的に正規分布に従うことが示された。
• サンプリング周波数が上昇するに従い、マルティンググール成分と半マルティンググール成分間の共変動項が確率的にゼロに収束する。これにより推定量の安定性が保証される。
• レングラルトの不等式を用いて、ジャンプサイズおよび共変動プロセスの上界が確率的に有界であることを証明し、収束結果を支持する。
• 強度を共変数上の確率的回帰としてモデル化することにより、高強度、非同期的、マイクロ構造効果を伴うデータを効果的に処理できる。
• 理論的結果は、一般化されたハーケス型強度プロセスを介して、価格モデルやオーダーブックダイナミクスを含む実世界の金融モデルへも適用可能である。