[論文レビュー] Quasi-lisse vertex algebras and modular linear differential equations

Tomoyuki Arakawa, Kazuya Kawasetsu|arXiv (Cornell University)|Oct 19, 2016

Algebraic structures and combinatorial models被引用数 13

ひとこと要約

本稿は、lisse な頂点代数の一般化である quasi-lisse な頂点代数を導入し、その任意の普通の加群の正規化された特徴関数が、モジュラー線形微分方程式（MLDE）を満たすことを証明する。主な結果として、Deligne の例外的系列に対応するレベル $-h^\vee/6 - 1$ における単純なアフィン頂点代数の明示的特徴関数公式が得られ、4次元 $χ=2$ SCFT のシュール指数が、準モジュラー形式として表現されることを示している。

ABSTRACT

We introduce a notion of quasi-lisse vertex algebras, which generalizes admissible affine vertex algebras. We show that the normalized character of an ordinary module over a quasi-lisse vertex operator algebra has a modular invariance property, in the sense that it satisfies a modular linear differential equation. As an application we obtain the explicit character formulas of simple affine vertex algebras associated with the Deligne exceptional series at level $-h^{\vee}/6-1$, which express the homogeneous Schur indices of 4d SCFTs studied by Beem, Lemos, Liendo, Peelaers, Rastelli and van Rees, as quasi-modular forms.

研究の動機と目的

• 頂点作用素代数における lisse（C2-有限）条件を、アディミッスィブなアフィン代数や 4次元 SCFT 由来の well-behaved な表現を含むように一般化すること。
• lisse 条件を越えて、より広いクラスの頂点代数に対して特徴関数のモジュラー不変性を確立すること。
• Deligne の例外的系列に対応するレベル $-h^\vee/6 - 1$ における単純なアフィン頂点代数の明示的特徴関数公式を導出し、4次元 SCFT のシュール極限指数と関連付けること。

提案手法

• quasi-lisse な頂点代数を、関連する多様体 $X_V$ が有限個のシンプレクティック葉を持つコンformal な頂点代数として定義する。
• Zhu の $C_2$-代数構成を用いて、関連多様体 $X_V = \operatorname{Specm}(R_V)$ を定義し、ここで $R_V = V/C_2(V)$ である。この多様体のポisson 構造を解析する。
• モジュラー線形微分方程式（MLDE）の理論を適用し、quasi-lisse な頂点代数上の普通の加群の正規化された特徴関数が MLDE を満たすことを示す。
• 特定の中心電荷と相反次元を持つ MLDE の既知の解を用いて、与えられた頂点代数に対して適切な MLDE を同定する。
• MLDE を用いて、Eisenstein 級数、Dedekind のeta 関数、および準モジュラー形式を含む明示的特徴関数公式を導出する。
• 得られた特徴関数が、$D_4$、$E_6$、$E_7$、$E_8$ のような非アディミッスィブな場合を含む、既知の 4次元 $\mathcal{N}=2$ SCFT のシュール指数の表現と一致することを検証する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 lisse な頂点代数を超えて、アディミッスィブなアフィン代数や SCFT 由来の頂点代数に対しても、特徴関数のモジュラー不変性を拡張できるか？
• RQ2 特徴関数のモジュラー不変性を保つために、$C_2$-有限性の適切な一般化は何か？
• RQ3 Deligne の例外的系列に対応する 4次元 $\mathcal{N}=2$ SCFT のシュール指数は、一様にモジュラー形式または準モジュラー形式として記述可能か？
• RQ4 MLDE を用いて、臨界レベルにおける非アディミッスィブなアフィン頂点代数の明示的特徴関数公式を導出できるか？
• RQ5 Deligne の例外的系列の頂点代数がレベル $-h^\vee/6 - 1$ において、一様な MLDE に従うか？

主な発見

• quasi-lisse な頂点作用素代数上の普通の加群の正規化された特徴関数は、lisse VOA のモジュラー不変性を一般化したモジュラー線形微分方程式（MLDE）を満たす。
• レベル $-h^\vee/6 - 1$ における Deligne の例外的系列に対応する単純なアフィン頂点代数の特徴関数は、モジュラー形式および準モジュラー形式を用いて明示的に表現できる。
• $V_{-4/3}(A_1)$ の特徴関数は $\eta(3\tau)^3 / \eta(\tau)^3$ であり、重さ 0 のモジュラー形式である。
• $V_{-2}(D_4)$ の特徴関数は $E_4'(\tau)/(240\eta(\tau)^{10})$ であり、深さ 1 の準モジュラー形式である。
• $V_{-4}(E_7)$ の特徴関数は、$\Delta(\tau)$、$E_6(\tau)$、$E_4'(\tau)$、および $E_6(\tau)/\sqrt{\Delta(\tau)}$ の多項式の非自明な組み合わせを含み、その準モジュラー性が確認される。
• MLDE の係数は $h^\vee$ に関する有理関数であり、Deligne の次元公式と整合的であり、例外的系列の深い算術的性質を反映している。