[論文レビュー] Quasi-local energy with respect to de Sitter/anti-de Sitter reference

Po-Ning Chen, Mu‐Tao Wang+1 more|arXiv (Cornell University)|Mar 9, 2016

Black Holes and Theoretical Physics参考文献 23被引用数 6

ひとこと要約

この論文は、宇宙定数を伴うde Sitter (dS) および反de Sitter (AdS) 背景を基準として、Wang-Yauの局所的エネルギー枠組みをそれらの曲がった背景に拡張する。dS/AdS への最適等長埋め込みとキリング場の移植を用いて、一般化されたエネルギー表現を導出し、宇宙定数を伴うアインシュタイン方程式下で、全保存量が調和振動子に類似した系に従って時間発展することを証明した。この系では、時間とともに静止質量が保存される。

ABSTRACT

This article considers the quasi-local conserved quantities with respect to a reference spacetime with a cosmological constant. We follow the approach developed by the authors in [25,26,7] and define the quasi-local energy as differences of surface Hamiltonians. The ground state for the gravitational energy is taken to be a reference configuration in the de Sitter (dS) or Anti-de Sitter (AdS) spacetime. This defines the quasi-local energy with respect to the reference spacetime and generalizes our previous definition with respect to the Minkowski spacetime. Through an optimal isometric embedding into the reference spacetime, the Killing fields of the reference spacetime are transplanted back to the surface in the physical spacetime to complete the definitions of quasi-local conserved quantities. We also compute how the corresponding total conserved quantities evolve under the Einstein equation with a cosmological constant.

研究の動機と目的

• Minkowski時空からde Sitter (dS) および反de Sitter (AdS) 時空へのWang-Yau局所的エネルギー定義の一般化（宇宙定数が非ゼロの状況）
• dS/AdS 参照配置に基づく表面ハミルトニアンを用いて、局所的保存量（エネルギー、運動量、重心、角運動量）を定義すること
• dS/AdS 時空への最適等長埋め込みに基づく幾何的枠組みを確立し、これらの量を定義・計算すること
• 宇宙定数を伴う真空中アインシュタイン方程式下での全保存量の時間発展を分析し、調和振動子に類似した系に従うことを示すこと

提案手法

• 物理的時空とdS/AdS 参照時空の間の表面ハミルトニアンの差として局所的エネルギーを定義する。
• 物理的時空に埋め込まれた時空的2次元表面へのdS/AdS 時空への最適等長埋め込みを用い、参照時空のキリングベクトル場を物理的時空に移植する。
• 埋め込みから得られる誘導幾何と、埋め込みから導かれる時間関数τを用いて、局所的エネルギー汎関数を構成する。
• エネルギー汎関数の臨界性を保証するため、τに関する4階非線形楕円型偏微分方程式（最適等長埋め込み方程式）を導出する。
• 漸近的AdS設定において、ハミルトン=ジャコビ解析と漸近的展開を用いて、空間無限遠における保存量を計算する。
• lapse N=√(r²+1) で、シフトベクトルがゼロである真空アインシュタイン発展方程式を用いて、全保存量の時間発展を導出する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 Wang-Yauの局所的エネルギーを、dS や AdS のように宇宙定数が非ゼロの時空へ一般化するにはどうすればよいか？
• RQ2 dS/AdS 時空における局所的保存量を定義する適切な幾何的枠組みは何か？ また、参照時空からのキリング場はどのように寄与するか？
• RQ3 宇宙定数を伴う真空中アインシュタイン方程式下で、全保存量（エネルギー、運動量、重心、角運動量）はどのように時間発展するか？
• RQ4 漸近的AdS初期データセットにおいて、全保存量から定義される静止質量の時間発展挙動は何か？
• RQ5 宇宙定数を伴うアインシュタイン方程式下で、静止質量は時間発展に対して不変のまま保たれるか？

主な発見

• 全エネルギー E(t) と角運動量 J^i(t) は時間に対して一定であり、運動量 P^i(t) と重心 C^i(t) は調和振動子として発展する。
• 時間微分は次の系を満たす： ∂_t E(t) = 0, ∂_t P^i(t) = -C^i(t), ∂_t C^i(t) = P^i(t), ∂_t J^i(t) = 0。
• 全保存量から定義される静止質量 m(t) は時間発展に対して不変であり、すなわち ∂_t m(t) = 0 である。
• 保存量の発展方程式は、lapse N = √(r² + 1) でシフトベクトルがゼロである真空アインシュタイン発展方程式から導出される。
• P^i と C^i の発展方程式系は調和振動子に類似しており、時間発展において重心と運動量が振動的挙動を示すことを示唆する。
• Minkowskiに基づく局所的エネルギー枠組みが、dS/AdS 参照に拡張され、非負性や剛性といった重要な物理的性質を保持している。