[論文レビュー] Quasi-local mass at the null infinity of the Vaidya spacetime

Po-Ning Chen, Mu‐Tao Wang+1 more|arXiv (Cornell University)|Aug 22, 2016

Black Holes and Theoretical Physics参考文献 6被引用数 5

ひとこと要約

本稿は、放射性ブラックホールの非摂動的モデルであるVaidya時空における未来の光的無限遠点での単位球面上のWang-Yau局所質量を評価し、最適埋め込み方程式を明示的に解き、質量が $O(d^{-2})$ の割合で減衰することを示している。質量関数が単調に減少する場合、局所質量が正であることを確立し、光的無限遠点における質量損失の局所的特徴付けを提供している。

ABSTRACT

There are two important statements regarding the Trautman-Bondi mass [1,8,5] at null infinity: one is the positivity [7,6], and the other is the Bondi mass loss formula [1], which are both global in nature. The positivity of the quasi-local mass can potentially lead to a local description at null infinity. This is confirmed for the Vaidya spacetime in this note. We study the Wang-Yau quasi-local mass on surfaces of fixed size at the null infinity of the Vaidya spacetime. The optimal embedding equation is solved explicitly and the quasi-local mass is evaluated in terms of the mass aspect function of the Vaidya spacetime.

研究の動機と目的

• 局所的結果（例：Bondi質量損失式）を拡張し、局所的質量の記述をWang-Yau局所質量を用いて提供すること。
• 放射性ブラックホールの非摂動的モデルとしてのVaidya時空において、未来の光的無限遠点における単位球面上のWang-Yau局所質量を評価すること。
• 局所質量の符号と質量関数の単調性との直接的な関係を確立すること。
• Vaidya時空が小さな摂動でないにもかかわらず、線形化されたSchwarzschild摂動と同様に $O(d^{-2})$ の減衰率を示すことを示すこと。

提案手法

• 未来の光的無限遠点における光測地線に沿った点を中心とする半径1の単位球面 $\Sigma_d$ を構成する。
• 座標変換を用い、$ t = d $, $ s = 1 $, $ u^a $ を単位球面上の角度座標とする $ (t, s, u^1, u^2) $ に変換する。
• 質量関数 $ M(u) $ を用いて、最良近似 $ X $ と $ T_0 = (1,0,0,0) $ を用いて、最適埋め込み方程式を明示的に解く。
• 公式 $ E(\Sigma_d, X, T_0) = -\frac{1}{16\pi d^2} \int_{S^2} \partial_u M (1 - Z^2) \, dV_{S^2} + O(d^{-3}) $ を用いて局所エネルギーを評価する。ここで $ Z = \tilde{d}_i \tilde{X}^i $ である。
• 文献[4]の定理4.5を適用し、SchwarzschildからVaidyaに至る1パラメータ族の時空の変化において、無限遠点のループにおける不変量を定義し、第二基本形式と面積形式の変動を計算する。
• $ Z \geq c $ の場合、不変量 $ \frac{1}{8}(1 - c^2)|c(M(-c) - m)| $ を計算し、質量関数と関連付ける。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 Wang-Yau局所質量は、Vaidya時空における光的無限遠点での質量の局所的特徴付けを提供できるか？
• RQ2 Vaidya時空における局所質量は、線形化Schwarzschild摂動と同様に $ O(d^{-2}) $ の減衰率を示すか？
• RQ3 質量関数にどのような条件下で局所質量が正になるか？
• RQ4 局所質量は、質量損失および無限遠点のループの幾何学とどのように関係するか？
• RQ5 Vaidya時空において、無限遠点のループに定義された不変量を質量関数の言葉で計算できるか？

主な発見

• Vaidya時空における光的無限遠点の単位球面上の局所質量は、$ O(d^{-2}) $ の割合で減衰し、線形化Schwarzschild摂動で観察された減衰率と一致する。
• 局所質量は明示的に $ E(\Sigma_d, X, T_0) = -\frac{1}{16\pi d^2} \int_{S^2} \partial_u M (1 - Z^2) \, dV_{S^2} + O(d^{-3}) $ と評価され、主項は質量関数の微分に依存する。
• 質量関数 $ M(u) $ が単調に減少する場合、局所質量は正であり、正エネルギーの局所的基準を提供する。
• 無限遠点のループにおける不変量は $ \frac{1}{8}(1 - c^2)|c(M(-c) - m)| $ と計算され、$ u = -c $ におけるVaidyaの質量関数とSchwarzschild質量 $ m $ の差に依存する。
• この不変量は境界 $ \gamma_c $ を持つ表面 $ \Sigma $ の選択に依存せず、幾何学的・物理的意味を持つことを確認する。
• 結果は、局所質量が、Bondi質量のようなグローバルな漸近的量を超えて、質量損失や単調性といった局所的物理的情報を捉えることができることを裏付けている。