[論文レビュー] Quasi-local variables, non-linear perturbations and back-reaction in spherically symmetric spacetimes

Roberto A. Sussman|ArXiv.org|Sep 19, 2008

Cosmology and Gravitation Theories参考文献 25被引用数 13

ひとこと要約

本稿では、非零の圧力および非等方的応力を含むLemaître-Tolman-Bondi (LTB) ダスト解の一般化を可能にする球対称時空における準局所的形式主義を導入する。Misner-Sharp質量エネルギーに基づく準局所変数を定義することで、著者たちはFLRW宇宙論の非線形かつゲージ不変な摂動として流体力学を再定式化し、不均一な設定におけるバックリアクションおよびエネルギー勾配の共変的解析を可能にする。

ABSTRACT

We introduce a quasi-local integral functional and scalar quasi-local variables to examine a wide class of spherically symmetric inhomogeneous spacetimes that generalize the Lemaitre-Tolman-Bondi (LTB) dust solutions ("LTB" spacetimes). By using these variables, we can transform the fluid flow evolution equations into evolution equations for non-linear, covariant, gauge--invariant perturbations of Friedman-Lemaitre-Robertson-Walker (FLRW) cosmologies. In the linear limit, we obtain spherical perturbations in the synchronous gauge under the long wavelength approximation. The formalism has a significant potential for cosmological applications, as it allows one to examine a wide variety of sources with different "equations of state", generalizing known FLRW solutions to idealized but non-trivial and non-linear inhomogeneous conditions. The quasi-local functional can be reformulated as a weighed proper volume average distribution, with the weight factor given by a scalar invariant related to the quasi-local mass-energy function. The back-reaction terms, emerging in Buchert's proper averaging formalism, can be expressed as differences between fluctuations of averaged and quasi-local energy densities. By comparing this average with the weighed quasi-local one, we can define a binding energy functional related to spatial gradients of the averaged and quasi-local variables that appear in the back-reaction terms.

研究の動機と目的

• 不均一な球対称時空における非線形摂動を、ダスト近似を超えて共変的かつゲージ不変な形式主義で分析するための手法を開発すること。
• LTB時空フレームワークを非零の圧力および非等方的応力の含むように一般化し、理想化されたダスト解から離れる。
• Buchertの平均化形式主義におけるバックリアクション項を、準局所的エネルギー密度の揺らぎと空間勾配を用いて表現すること。
• 準局所的質量エネルギーに関連するスカラー不変量を重みとして用いることで、重み付き固有体積平均を定義し、空間平均との比較を可能にする。
• 平均化されたエネルギー密度と準局所的エネルギー密度の差異から得られる結合エネルギー関数を定義し、不均一性の効果を捉えること。

提案手法

• Misner-Sharp準局所質量エネルギーに基づく準局所的積分関数を定義し、スカラー不変量を重みとして用いることで、重み付き固有体積平均としての機能を果たす。
• 積分関数から導かれる準局所的スカラー変数を導入し、球対称時空における流体力学の共変的記述を可能にする。
• すべての局所的共変スカラー量を、それらの準局所的対応物に対する摂動として表現し、1+3流体流れ方程式をこれらの摂動に関する発展方程式に変換する。
• 系を径方向勾配を含む非線形自己同型偏微分方程式系に簡略化し、実質的に径方向依存性をODE形式の枠組みの中でパrameterとして扱う。
• Buchertのバックリアクション項を、平均化されたエネルギー密度と準局所的エネルギー密度の揺らぎの差異として再定式化する。
• 平均化された変数と準局所的変数の空間勾配からなる結合エネルギー関数を定義し、不均一性に起因する効果的力学に寄与する要因を定量化する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 非零の圧力を有する球対称時空において、FLRW宇宙論の非線形かつゲージ不変な摂動をどのように体系的に記述できるか？
• RQ2 Misner-Sharp質量エネルギーに基づく準局所的変数は、ダスト限界を超えた不均一な流体流れをどのように特徴づけるか？
• RQ3 Buchertの平均化形式主義におけるバックリアクション項は、空間平均と準局所的エネルギー密度の揺らぎの差異からどのように導かれるか？
• RQ4 平均化された変数と準局所的変数の空間勾配は、不均一宇宙論における有効な結合エネルギー関数にどのように寄与するか？
• RQ5 本形式主義は、球対称性に依存するが、最小限の修正で非球対称モデルへ拡張可能か？

主な発見

• 準局所的形式主義は、非零の圧力および非等方的応力を含むLTB時空を成功裏に一般化し、より広い不均一解のクラスを可能にする。
• 流体流れの発展方程式は、準局所的変数に対する非線形的で共変的かつゲージ不変な摂動方程式に再定式化され、不均一性の解析が簡素化される。
• 線形極限において、本形式主義は長波長近似下で同期ゲージにおける球対称摂動を再現する。
• Buchert形式主義におけるバックリアクション項は、平均化されたエネルギー密度と準局所的エネルギー密度の揺らぎの差異として表現され、幾何的解釈が可能になる。
• 空間勾配を用いて平均化された変数と準局所的変数の差異からなる結合エネルギー関数が定義され、不均一性が有効力学に与える効果が定量化される。
• 曲率特異点およびシェルクロスィング特異点が存在する場合でも、適切な正則性条件（例：$ R' > 0 $）が満たされていれば、形式主義は有効である。