[論文レビュー] Quasi-Locality Bounds for Quantum Lattice Systems. Part II. Perturbations of Frustration-Free Spin Models with Gapped Ground States

Bruno Nachtergaele, Robert Sims+1 more|arXiv (Cornell University)|Oct 29, 2020

Quantum many-body systems参考文献 124被引用数 25

ひとこと要約

本稿は、交互作用が伸びた指数関数より速く減衰する摂動に対して、ギャップを持つフレストレーションフリーなスピン模型における量子格子系の準局所性の上限を確立し、ギャップの安定性を証明する。Bravyi-Hastings-Michalakis (BHM) 戦略を用い、局所的トポロジカル量子オーダー (LTQO) 条件を、識別不能半径を介して精緻化することで、一般の境界条件および離散的対称性の破れを示す系に対しても安定性解析を可能にした。

ABSTRACT

We study the stability with respect to a broad class of perturbations of gapped ground state phases of quantum spin systems defined by frustration-free Hamiltonians. The core result of this work is a proof using the Bravyi-Hastings-Michalakis (BHM) strategy that under a condition of Local Topological Quantum Order, the bulk gap is stable under perturbations that decay at long distances faster than a stretched exponential. Compared to previous work we expand the class of frustration-free quantum spin models that can be handled to include models with more general boundary conditions, and models with discrete symmetry breaking. Detailed estimates allow us to formulate sufficient conditions for the validity of positive lower bounds for the gap that are uniform in the system size and that are explicit to some degree. We provide a survey of the BHM strategy following the approach of Michalakis and Zwolak, with alterations introduced to accommodate more general than just periodic boundary conditions and more general lattices. We express the fundamental condition known as LTQO by means of the notion of indistinguishability radius, which we introduce. Using the uniform finite-volume results we then proceed to study the thermodynamic limit. We first study the case of a unique limiting ground state and then also consider models with spontaneous breaking of a discrete symmetry. In the latter case, LTQO cannot hold for all local observables. However, for perturbations that preserve the symmetry, we show stability of the gap and the structure of the broken symmetry phases. We prove that the GNS Hamiltonian associated with each pure state has a non-zero spectral gap above the ground state.

研究の動機と目的

• . パーソナル境界条件を超えて、フレストレーションフリーな量子スピン系におけるギャップ安定性を拡張すること。
• . 標準的なLTQOが失敗する離散的対称性の破れを示す系におけるギャップ安定性を確立すること。
• . BHM戦略を非可換かつ周期的でない、対称性が破れた系に対応できるように一般化すること。
• . 識別不能半径を導入し、有限および無限系におけるLTQOの定量的評価のための道具として形式化すること。
• . 熟練限界における系サイズに依存しない一様なギャップ下限を証明すること。

提案手法

• . 摂動下でのスペクトルギャップ安定性を解析するために、Bravyi-Hastings-Michalakis (BHM) 戦略を適用する。
• . 局所的トポロジカル量子オーダー (LTQO) の新たな尺度として、識別不能半径を導入し、局所的観測量が無限体積極限からどれほど区別可能であるかを定量化する。
• . スペクトルフローと準局所性推定を用いて、摂動が基底状態空間に与える影響を制御する。
• . アンカー付き相互作用と形式有界摂動論を用いて、相互作用の長距離減衰を扱う。
• . 一様な有限体積境界を確立し、一様な系の列を用いて熱力学的極限に移行する。
• . MPS写像の単射性を証明し、行列積状態 (MPS) 技術を用いて識別不能半径を推定する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 . ギャップを持つフレストレーションフリーな量子スピン系のスペクトルギャップは、伸びた指数関数より速く減衰する摂動に対して、安定すると言えるか？
• RQ2 . 一般の境界条件および周期性の欠如下で、LTQO条件をどのように再定式化できるか？
• RQ3 . 識別不能半径は、摂動下におけるトポロジカルオーダーの安定性を定量化するために果たす役割は何か？
• RQ4 . 陽に離散的対称性の破れが生じる状況下で、ギャップ安定性はどのように振る舞うか？
• RQ5 . 熟練限界において、系サイズに依存しない一様なギャップ下限を確立できるか？

主な発見

• . 相互作用が伸びた指数関数より速く減衰する限り、すべての十分に小さな摂動 s に対して、スペクトルギャップが一様に下から有界であることが保証される。
• . 識別不能半径は、境界からの距離の関数として下から有界であり、有限系におけるギャップ安定性を保証する。
• . 基底状態が一意である系では、無限体積状態に関連するGNSハミルトニアンは、基底状態の上に非ゼロのスペクトルギャップを持つ。
• . 離散的対称性の破れを示すモデルでは、対称性を保存する摂動下でもギャップは安定し、各純粋状態に対応するGNSハミルトニアンも非ゼロのスペクトルギャップを持つ。
• . 本稿では、識別不能半径を用いて定式化されたLTQO条件が、周期的境界条件が存在しない場合でも、スペクトルギャップ安定性の十分条件であることを証明した。
• . 行列積状態 (MPS) 系において、識別不能半径の明示的定量的境界が導出され、関心領域からの距離に応じて指数関数的に減衰することが示された。