[論文レビュー] Quasi-metric spaces with measure

Aleksandar Stojmirović|ArXiv.org|Nov 6, 2003

Fixed Point Theorems Analysis参考文献 19被引用数 22

ひとこと要約

この論文は、測度を伴う擬距離空間（pq空間）へ、測度を伴う距離空間（mm空間）における集中現象を拡張する。高次元のpq空間は、集中の性質においてほぼmm空間に類似していることが示され、一般的な生物学的配列類似度測度が擬距離に変換可能であることが明らかになった。また、非対称ハミング立方体とペナルティに基づく手法を用いて、古典的レヴィ族に類似した指数的集中バウンドを確立した。

ABSTRACT

The phenomenon of concentration of measure on high dimensional structures is usually stated in terms of a metric space with a Borel measure, also called an mm-space. We extend some of the mm-space concepts to the setting of a quasi-metric space with probability measure (pq-space). Our motivation comes from biological sequence comparison: we show that many common similarity measures on biological sequences can be converted to quasi-metrics. We show that a high dimensional pq-space is very close to being an mm-space.

研究の動機と目的

• 測度を伴う距離空間（mm空間）における集中現象の概念を、測度を伴う擬距離空間（pq空間）へ一般化すること。
• 高次元のpq空間が、集中の性質においてmm空間にほぼ類似していることを示すこと。
• 一般的な生物学的配列類似度測度（例：Smith-Waterman）が、再定式化することで擬距離として表現可能であることを示すこと。
• 非対称距離とペナルティ関数を用いて、pq空間における指数的集中バウンドを導出すること。
• pq空間が自然な条件下で、レヴィ族の性質を含む主要な集中特性を継承することを確立すること。

提案手法

• 測度を伴う擬距離空間（pq空間）を定義し、mm空間の枠組みを一般化する。
• 擬距離およびその共役を用いて、左・右・関連する距離球と近傍を定義する。
• 二元アルファベット上に非対称な基本的擬距離を定義することで、非対称ハミング立方体を構築する。
• タラグランドのペナルティ法を適用し、積空間上のℓ₁型擬距離を用いてpq空間の集中バウンドを導出する。
• 関連する距離を用いて、pq空間の集中を古典的mm空間の結果に結びつける。
• pq空間の集中関数が、レヴィ族のものと類似した指数的バウンドを満たすことを証明する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 測度を伴う距離空間から測度を伴う擬距離空間へ、集中現象を意味的に拡張できるか？
• RQ2 生物学的配列類似度測度（例：Smith-Watermanスコア）は、擬距離構造とどのように関係するか？
• RQ3 高次元のpq空間は、集中の性質においてmm空間にどの程度類似しているか？
• RQ4 pq空間における左および右の集中関数に対して、どのような指数的バウンドが得られるか？
• RQ5 タラグランドの研究から得られたペナルティに基づく手法を、pq空間における集中不等式の導出に適応できるか？

主な発見

• 非対称ハミング立方体の系列は、正規のレヴィ族を形成し、集中関数が $ \exp(-2\varepsilon^2 n) $ で有界である。これは古典的ハミング立方体のバウンドと一致する。
• pq空間 $ (\Sigma^n, q_n, \mu_n) $ の集中関数は、$ \alpha_{(\Sigma^n, q_n, \mu_n)}(\varepsilon) \leq 2\exp\left(-\frac{n\varepsilon^2}{2}\right) $ を満たし、強い集中を示している。
• 擬距離 $ q(x,y) = \sum_{i\leq N} q_\Omega(x_i, y_i) $ を持つ積pq空間に対して、集中関数は $ \alpha(\varepsilon) \leq 2\exp\left(-\min\left(\frac{\varepsilon^2}{8N\|q_\Omega\|_2^2}, \frac{\varepsilon}{2\|q_\Omega\|_\infty}\right)\right) $ で有界である。
• pq空間における左および右の集中関数は、関与するノルムの対称性により、対称的なバウンドを継承する。
• pq空間の関連距離 $ \hat{q} $ により、pq空間が位相的に距離空間に近いことが保証され、集中結果の転送が可能になる。
• 生物学的配列類似度測度（スミス・ウォーターマンスコアを含む）は、一般化された重み付き擬距離に変換可能であり、pq空間フレームワークでの利用が可能になる。