[論文レビュー] Quasi-modular forms and trace functions associated to free boson and lattice vertex operator algebras

Chongying Dong, Geoffrey Mason+1 more|ArXiv.org|Apr 20, 2000

Algebraic structures and combinatorial models参考文献 9被引用数 5

ひとこと要約

本稿では、自由ボソンおよび格子頂点 operator 代数におけるトレース関数が、モジュラーまたは準モジュラー性を示すことを確立している。$d$ 個の自由ボソンに対しては、トレース関数は $f(q)/\eta(q)^d$ の形をとり、$f(q)$ は準モジュラー形式である。格子 VOAs に対しては、トレース関数はモジュラー形式である。主な結果として、球面調和関数と一次元場との間の関係を示し、レベル 1 のすべての尖点形式が $V_{E_8}$ 内のトレース関数として実現可能であることを示しており、VOA におけるモジュラー性の一般化を達成している。

ABSTRACT

We study graded traces of vectors in free bosonic vertex operator algebras and lattice vertex operator algebras. We show in particular that trace functions in these two theories always have the shape f(q)/η(q)^d where f(q) is quasi-modular in the case of d free bosons, and modular (i.e., a sum of holomorphic modular forms of various weights) in the case of theories based on a lattice L of rank d. We also show how spherical harmonic polynomials with respect to L are related to primary fields in lattice theories.

研究の動機と目的

• 頂点演算子代数における 1 点相関関数（トレース関数）のモジュラー性または準モジュラー性を理解すること。
• これらのトレース関数がいつモジュラーであるか、あるいはモジュラー性からどれほど逸脱するかを特定すること、特に自由ボソンおよび格子 VOAs において。
• 格子 VOAs 内の球面調和多項式と一次元場との間の明確な対応関係を確立すること。
• 特定の環に属するすべてのモジュラー形式（または準モジュラー形式）が、これらの VOAs 内のトレース関数として実現可能であることを示すこと。

提案手法

• Zhu のトレース関数 $Z(v,q) = \operatorname{tr}_V o(v) q^{L(0)-c/24}$ の理論を用いて、VOA 内の 1 点相関関数を分析する。
• 準モジュラー形式 $Q(N,\epsilon) = M(N,\epsilon)[E_2]$ の理論を用いて、自由ボソン VOAs 内のトレース関数を特徴付ける。
• ヘイゼンベルク VOAs $M(1)$ および格子 VOAs $V_L$ の構造を用いて、トレース関数を $f(q)/\eta(q)^d$ に分解する。
• 格子 VOAs $V_L$ 内の一次元場を、$h_i(0)$ の作用および $L(2)$-消滅条件を介して球面調和多項式に関連付ける。
• トレース写像のセクションを通じて、$V$ の部分空間と準モジュラー形式環 $Q$ 間の明示的同型を構成する。
• $h_0(0)^k$ が $V_L$ 上で $P(\alpha)$ として作用することを用いて、トレースを計算し、非ゼロモード項が寄与しないことを示す。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 頂点演算子代数におけるトレース関数が、どのような条件下でモジュラーまたは準モジュラーになるか。
• RQ2 球面調和多項式は、格子 VOAs 内の一次元場とどのように関係するか。
• RQ3 すべてのモジュラー形式または準モジュラー形式が、自由ボソンまたは格子 VOA 内のトレース関数として実現可能か。
• RQ4 $M(1)$ および $V_L$ 内のトレース写像 $v \mapsto Z(v,q)$ の正確な構造は何か。
• RQ5 レベル 1 のすべての尖点形式が $V_{E_8}$ 内のトレース関数として現れるか。

主な発見

• 自由ボソン $d$ 個の VOA に対して、すべてのトレース関数は $f(q)/\eta(q)^d$ の形をとり、$f(q)$ は準モジュラー形式環 $Q$ に属する。
• トレース関数 $t: V \to Q$ を $t(v) = (\operatorname{ch}_q V)^{-1} Z(v,q)$ で定義すると、これは線形な全射であり、部分空間 $W \subset V$ を通じて明示的なセクションが構成可能である。
• ランク $d$ の格子 VOAs $V_L$ に対して、すべてのトレース関数は $f(q)/\eta(q)^d$ の形をとり、$f(q)$ は $M(N,\epsilon)$ 内のモジュラー形式である。
• 次数 $k$ の球面調和多項式は $V_L$ 内の一次元場に対応し、そのトレース関数は $\theta_L(P,\tau)/\eta(\tau)^d$ である。ここで $\theta_L(P,\tau)$ は $P$ によってねじれた theta 関数である。
• レベル 1 の任意の尖点形式は $V_{E_8}$ 内のトレース関数として実現可能であり、特に Waldspurger の結果と定理 3 を用いて、$f(q)/\eta(q)^8$ の形（$v$ をある一次元場として）で示される。
• $\sum n_i = 0$ かつ $r \geq 2$ を満たす非ゼロモード単項式 $h_0(n_1)\cdots h_0(n_r)$ の $M(1)$ 上でのトレースは 0 に等しく、これによりトレースに寄与するのはゼロモード項のみであることが保証される。