[論文レビュー] Quasi-monomial actions and some 4-dimensional rationality problems

Akinari Hoshi, Ming-chang Kang+1 more|arXiv (Cornell University)|Jan 6, 2012

Advanced Algebra and Geometry参考文献 16被引用数 4

ひとこと要約

本稿では、有理関数体上の準単項群作用の概念を導入し、単項作用の一般化を行い、作用が分解可能である場合に固定体 $ k(x_1,x_2,x_3,x_4)^G $ が $ k $ 上有理的であることを証明する。主な貢献は、格子分解および再帰的有理的性の技法を用いて、次元4における純粋な準単項作用について有理的性を確立することにある。

ABSTRACT

Let $G$ be a finite group acting on $k(x_1,...,x_n)$, the rational function field of $n$ variables over a field $k$. The action is called a purely monomial action if $σ...x_j=\prod_{1\le i\le n} x_i^{a_{ij}}$ for all $σ\in G$, for $1\le j\le n$ where $(a_{ij})_{1\le i,j\le n} \in GL_n(\bm{Z})$. The main question is that, under what situations, the fixed field $k(x_1,...,x_n)^G$ is rational (= purely transcendental) over $k$. This rationality problem has been studied by Hajja, Kang, Hoshi, Rikuna when $n\le 3$. In this paper we will prove that $k(x_1,x_2,x_3,x_4)^G$ is rational over $k$ provided that the purely monomial action is decomposable. To prove this result, we introduce a new notion, the quasi-monomial action, which is a generalization of previous notions of multiplicative group actions. Moreover, we determine the rationality problem of purely quasi-monomial actions of $K(x, y)^G$ over $k$ where $k= K^G$.

研究の動機と目的

• 有理関数体上の単項群作用を、より広いクラスの準単項作用へ一般化すること。
• 特に作用が分解可能な場合に、次元4における純粋な準単項作用の有理的性問題を調査すること。
• 固定体 $ K(x_1,x_2,x_3,x_4)^G $ が $ k $ 上有理的である条件を特定すること、ここで $ k = K^G $ である。
• 次元2および3における代数的トーラスの有理的性に関する既知の結果を、格子分解技法を用いて次元4へ拡張すること。

提案手法

• 有限ガロア拡大 $ K $ over $ k $ の係数をもつねじれ単項式による作用として、群元が作用する準単項作用の概念を導入する。
• 係数 $ c_j(\sigma) = 1 $ である特別な場合として純粋な準単項作用を定義し、$ k = K $ のとき単項作用に還元されることを示す。
• 代数的トーラスと $ \mathbb{Z}[G] $-格子の反同値関係を用いて、有理的性問題を格子論的問題に翻訳する。
• $ G $-格子 $ M = M_1 \oplus M_2 $ の分解を用いて、固定体 $ K(M)^G $ を $ K(M_1)^G $ と $ K(M_2)^G $ の自由合成として分析する。
• サルトマンのフラッピー解体理論および再帰的有理的性を応用し、$ K(M)^G $ が $ k $ 上有理的である条件を特定する。特に $ \text{rank}_{\mathbb{Z}} M_i \leq 3 $ の場合に注目する。
• 山崎の結果を用いて、特定の固定体が再帰的有理的ではないことを示し、例外的な場合における非有理的性を確立する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 群 $ G $ が準単項 $ k $-自己同型として作用するとき、固定体 $ K(x_1,x_2,x_3,x_4)^G $ が $ k $ 上有理的である条件は何か？
• RQ2 作用が分解可能である場合に、固定体 $ K(x_1,x_2,x_3,x_4)^G $ が $ k $ 上有理的である条件は何か？
• RQ3 $ M = M_1 \oplus M_2 $ のとき、$ K(M)^G $ の有理的性は、その成分 $ K(M_1)^G $ と $ K(M_2)^G $ の有理的性に還元可能か？
• RQ4 $ K(M_1)^G $ と $ K(M_2)^G $ が有理的であっても、$ K(M)^G $ が再帰的有理的でないケースは存在するか？
• RQ5 特にその分解に注目した $ G $-格子 $ M $ の構造は、固定体の有理的性にどのように影響するか？

主な発見

• 純粋な準単項作用が分解可能である場合、固定体 $ k(x_1,x_2,x_3,x_4)^G $ は $ k $ 上有理的である。
• 有限群 $ G $ が $ G \simeq \text{Gal}(K/k) $ を満たすとき、$ K(M)^G $ は $ k $ 上再帰的有理的であるための必要十分条件は、$ K(M_1)^G $ と $ K(M_2)^G $ が $ k $ 上再帰的有理的であることである。
• $ K(M_1)^G $ と $ K(M_2)^G $ が $ k $-有理的であれば、$ M = M_1 \oplus M_2 $ を $ \mathbb{Z}[G] $-加群として満たす限り、$ K(M)^G $ も $ k $-有理的である。
• $ \text{rank}_{\mathbb{Z}} M_i \leq 3 $ のとき、$ K(M)^G $ が $ k $-有理的であるための必要十分条件は、$ K(M_1)^G $ と $ K(M_2)^G $ が $ k $-有理的であることである。
• 固定体 $ k(x_1,x_2,x_3,x_4)^{\langle \tau \rangle} $ は $ k(x_4) $ 上再帰的有理的ではなく、したがって $ k $-再帰的有理的でもない。これは山崎の補題により示される。
• $ K(M)^G $ の有理的性は、フラッピー類 $ [M]^{fl} $ の可逆性と同値であり、$ [M_1 \oplus M_2]^{fl} = [M_1]^{fl} \oplus [M_2]^{fl} $ が成り立つため、分解に基づく解析が可能となる。