[論文レビュー] Quasi-Monte Carlo methods for the Heston model

Jan Baldeaux, Dale Roberts|arXiv (Cornell University)|Feb 15, 2012

Stochastic processes and financial applications被引用数 5

ひとこと要約

本稿では、HestonおよびSVJの stochastic volatility モデル下でパス依存デリバティブの価格設定に向けた、新しい準モンテカルロ（QMC）フレームワークを提示する。正確なシミュレーション（Broadie-Kayaスキーム）とカスタムブリッジ構築を用いてQMCの効率性を向上させる。主な貢献は、QMCが標準モンテカルロを著しく上回ることを示したことである。特に、特化したブリッジを用いて分散を初期のQMC次元に割り当てることで、その優位性が顕著になる。

ABSTRACT

In this paper, we discuss the application of quasi-Monte Carlo methods to the Heston model. We base our algorithms on the Broadie-Kaya algorithm, an exact simulation scheme for the Heston model. As the joint transition densities are not available in closed-form, the Linear Transformation method due to Imai and Tan, a popular and widely applicable method to improve the effectiveness of quasi-Monte Carlo methods, cannot be employed in the context of path-dependent options when the underlying price process follows the Heston model. Consequently, we tailor quasi-Monte Carlo methods directly to the Heston model. The contributions of the paper are threefold: We firstly show how to apply quasi-Monte Carlo methods in the context of the Heston model and the SVJ model, secondly that quasi-Monte Carlo methods improve on Monte Carlo methods, and thirdly how to improve the effectiveness of quasi-Monte Carlo methods by using bridge constructions tailored to the Heston and SVJ models. Finally, we provide some extensions for computing greeks, barrier options, multidimensional and multi-asset pricing, and the 3/2 model.

研究の動機と目的

• 標準QMC手法（例：線形変換法）が、同時遷移密度の欠如により適用不可能なHestonおよびSVJモデルに対して、実用的なQMCフレームワークを開発すること。
• stochastic volatility 下でパス依存デリバティブの価格設定において、QMC手法が従来のモンテカルロ法を上回ることを示すこと。
• モデル固有のブリッジ構築を設計することで、QMCの効率を向上させ、分散を初期のQMC次元に割り当てる。
• QMCアプローチをギリシャ計算、バリアオプション、マルチアセットモデル、および$3/2$モデルに拡張すること。

提案手法

• HestonおよびSVJモデルのサンプルパスを生成するために、Broadie-Kayaの正確なシミュレーションスキームを用い、離散化バイアスを回避する。
• パス依存ペイオフに起因する高次元積分におけるQMC収束を向上させるために、Sobol点集合にOwenのスクラムブルを適用する。
• 分散過程のためのカスタムブリッジ構築（[40, 51] に基づく）および時間依存ボラティリティを有するブラウン運動のためのもの（[24] から）を開発し、分散を初期次元に割り当てる。
• ジャンプ過程（[5] から）のブリッジサンプリングを適応してSVJモデルに対応させ、パスの連続性を保ちながらQMC性能を向上させる。
• 非 centrality $\chi^2$ 分布と条件付き積分を用いて、相関するボラティリティと資産価格を同時にシミュレートすることで、マルチアセットモデルへの拡張を実現する。
• ボラティリティ過程を平方根過程に変換し、ラプラス変換に基づくサンプリングを用いて、$3/2$モデルに対しても同様のブリッジベースの正確なシミュレーションを適用する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 同時遷移密度が入手できないため、線形変換法が適用不可能なHestonモデルに対しても、QMC手法を効果的に適用できるか？
• RQ2 HestonおよびSVJモデルに対して、分散を初期の次元に割り当てるように設計されたブリッジ構築は、QMCの有効性をどのように向上させるか？
• RQ3 stochastic volatility モデル下でパス依存オプションの価格設定において、QMCは標準モンテカルロをどの程度上回るか？
• RQ4 QMCフレームワークは、ギリシャ計算、バリアオプション、マルチアセットデリバティブ、および$3/2$モデルに拡張可能か？

主な発見

• Sobol列とOwenのスクラムブルを用いたQMC手法は、HestonおよびSVJモデル下でパス依存オプションの価格設定において、標準モンテカルロを一貫して上回る性能を示す。
• モデル固有のブリッジ構築の導入により、QMC収束が著しく向上し、QMC点集合の最初の数次元に多くの分散が割り当てられる。
• ボラティリティ過程を平方根過程に変換し、ラプラス変換に基づく正確なシミュレーションを用いることで、$3/2$モデルに対してもフレームワークが成功裏に適用された。
• ブリッジサンプリング手法の拡張により、ギリシャ計算およびバリアオプションの価格設定が正確に可能となった。
• Feller条件が満たされない場合でも、本手法は安定しており、実市場応用に実用的である。
• 相関するボラティリティと資産価格を条件付き分布と相関ブリッジを用いて同時にシミュレートすることで、マルチアセットモデルへの拡張が達成された。