[論文レビュー] Quasi-morphisms and the Poisson bracket

Michael Entov, Leonid Polterovich+1 more|ArXiv.org|May 15, 2006

Geometric and Algebraic Topology参考文献 15被引用数 3

ひとこと要約

本稿では、シンプレクティック多様体上の滑らかな関数 F と G の非可換性をポアソン括弧を介して測る関数的 Π(F,G) を導入し、ポアソン括弧の L∞-ノルムに関連するリプシッツ連続な下界を確立する。主な貢献は、フローリングホモロジーに基づくハミルトニアン群の普遍被覆上の同次準準同型から導かれる鋭い不等式 Π(F,G) ≤ C√||{F,G}|| であり、これは量子測定誤差やシンプレクティック多様体上の単位分解の制約への応用を含む。

ABSTRACT

For a class of symplectic manifolds, we introduce a functional which assigns a real number to any pair of continuous functions on the manifold. This functional has a number of interesting properties. On the one hand, it is Lipschitz with respect to the uniform norm. On the other hand, it serves as a measure of non-commutativity of functions in the sense of the Poisson bracket, the operation which involves first derivatives of the functions. Furthermore, the same functional gives rise to a non-trivial lower bound for the error of the simultaneous measurement of a pair of non-commuting Hamiltonians. These results manifest a link between the algebraic structure of the group of Hamiltonian diffeomorphisms and the function theory on a symplectic manifold. The above-mentioned functional comes from a special homogeneous quasi-morphism on the universal cover of the group, which is rooted in the Floer theory.

研究の動機と目的

• シンプレクティック多様体上の関数 F と G の非可換性を、シンプレクティック準準同型を用いて定量化する関数的 Π(F,G) を定義すること。
• ポアソン括弧 {F,G} と非可換性の C^0-頑健性との間の定量的関係を確立し、Π(F,G) ≤ C√||{F,G}|| を示すこと。
• この関数的を用いて、古典的力学における非可換ハミルトニアンの同時測定誤差の下界を導出すること。
• 被覆が非固定可能集合からなる単位分解に従属する関数の間の最大ポアソン括弧の下界を証明すること。
• これらの境界の鋭さと、フロイアー理論的準準同型が C^0-頑健性現象において果たす役割を調査すること。

提案手法

• ハミルトニアン群 G の普遍被覆上の同次準準同型を用いて、特定の閉シンプレクティック多様体上にシンプレクティック準準同型 ζ を構成する。
• Π(F,G) = |ζ(F+G) - ζ(F) - ζ(G)| を定義し、加法性の破綻、したがって非可換性を測定する。
• シンプレクティック準準同型と同次準準同型の関係を用い、フロイアーhomologyの技法を介して不等式 Π(F,G) ≤ C√||{F,G}|| を導出する。
• Π が一様ノルムに関して 1-リプシッツであることを確立し、関数の C^0-摂動に対して安定であることを保証する。
• この関数的を用いて、非可換な物理量 F と G の同時測定誤差の下界を導出する。
• 準準同型の欠陥および性質を用いて、被覆が非固定可能集合からなる単位分解に関して、max_{i,j}||{ρ_i, ρ_j}|| ≥ const/N^3 の境界を導出する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 関数的 Π(F,G) は、ポアソン括弧 ||{F,G}|| の C^0-頑健な下界を提供できるか。また、不等式 Π(F,G) ≤ C√||{F,G}|| の鋭い定数 C は何か？
• RQ2 関数的 Υ(F,G) = liminf_{F',G'→F,G} ||{F',G'}|| は ||{F,G}|| に等しいか。これはポアソン括弧の完全な C^0-連続性を示唆するか？
• RQ3 被覆が非固定可能集合からなる単位分解に関して、max_{i,j}||{ρ_i, ρ_j}|| ≥ const/N^3 の下界を、N→∞ の下で漸近的に改善できるか？
• RQ4 不等式 Π(F,G) ≤ C√||{F,G}|| は、次元 2 において「ソフト」（位相的）な証明が可能か。それともフロイアー理論的手法が不可欠か？
• RQ5 2-球面と標準準準同型に関して、不等式 Π(F,G) ≤ √(2C·||{F,G}||) の鋭い定数 C の値は何か？

主な発見

• 関数的 Π(F,G) は、ある定数 C に対して不等式 Π(F,G) ≤ C√||{F,G}|| を満たす。フロイアー理論から C ≤ 2 を得られ、次元 2 では位相的手段により C ≤ 1/2 に改善される。
• 関数的 Π は一様ノルムに関して 1-リプシッツであり、関数の小さな C^0-摂動に対しても安定である。
• 被覆が非固定可能集合からなる任意の単位分解 {ρ_i} に対して、最大ポアソン括弧は max_{i,j}||{ρ_i, ρ_j}|| ≥ const/N^3 を満たす。
• max_{i,j}||{ρ_i, ρ_j}|| ≥ const/N^3 の境界は、関数の m 重繰り返しによる構成により、漸近的に ∼N^{-2} まで改善できないことが示された。
• 関数的 Π(F,G) は、古典的力学における非可換ハミルトニアン F と G の同時測定誤差の下界を提供する。
• 2-球面では準準同型 ζ は基本的であり、関数的 Π の「ソフト」な性質にもかかわらず、定理 1.4 の証明は「ハード」なフロイアー理論的手法に依存しており、高次元における C^0-頑健性が本質的に非自明であることを示唆している。