[論文レビュー] Quasi-morphisms on cotangent bundles and symplectic homogenization

Alexandra Monzner, Nicolas Vichery+1 more|arXiv (Cornell University)|Apr 26, 2011

Homotopy and Cohomology in Algebraic Topology被引用数 4

ひとこと要約

本稿は、基底多様体 N の第一実コホモロジーにパラメータ付けられた、余接 bundle T*N のハミルトニアン群上の同次準準同型の族を構成する。N = T^n の場合、これらはヴィテルボのシンプレクティック平均化と一致し、シンプレクティック剛性、アブリ・メイザー理論、ハミルトニアン群の代数的構造に対する新たな道具を提供する。

ABSTRACT

For a class of closed manifolds N, we construct a family of functions on the Hamiltonian group G of the cotangent bundle T*N. These restrict to homogeneous quasi-morphisms on the subgroup generated by Hamiltonians with support in a given cotangent ball bundle. The family is parametrized by the first real cohomology of N, and in the case N=T^n, it coincides with Viterbo's symplectic homogenization operator. These functions have applications to the algebraic and geometric structure of G and its subgroups, to symplectic rigidity, and to Aubry-Mather and weak KAM theory.

研究の動機と目的

• 閉多様体 N に対して、コホモロジーにパラメータ付けられた準準同型の族を用いて、ヴィテルボのシンプレクティック平均化を一般化すること。
• T*N のハミルトニアン群 G 及びその部分群の代数的・幾何的構造を研究すること。
• これらの新しい準準同型を用いて、シンプレクティック剛性および弱 KAM 理論への応用を探索すること。
• 準準同型と余接 bundle 内のシンプレクティック不変量との間の関係を確立すること。
• コホモロジー的データを用いて、トーラス T^n における既知の結果を任意の閉多様体へ一般化すること。

提案手法

• 余接球 bundle 内でコンパクトな台を持つハミルトニアンフローを用いて、T*N のハミルトニアン群上の関数を構成する。
• N の第一実コホモロジー H^1(N;ℝ) の要素によって、関数の族をパラメータ付けする。
• これらの関数が、固定された余接球に台を持つハミルトニアンによって生成される部分群上で同次準準同型に制限されることを証明する。
• シンプレクティック技法およびハミルトニアン力学の性質を用いて、準準同型構造を確立する。
• N = T^n の場合に、構成を用いてヴィテルボのシンプレクティック平均化を回復する。
• ハミルトニアン群の構造および余接 bundle の幾何を根拠として、不変性および同次性の性質を導出する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 ヴィテルボのシンプレクティック平均化は、T^n を超えて任意の閉多様体 N に対してどのように一般化可能か？
• RQ2 H^1(N;ℝ) は、T*N のハミルトニアン群上の準準同型を構成する上で果たす役割は何か？
• RQ3 これらの準準同型は、ハミルトニアン群およびその部分群の代数的・幾何的構造をどのように反映するか？
• RQ4 これらの構成は、余接 bundle 内のシンプレクティック剛性をどのように理解を深めるか？
• RQ5 これらの準準同型は、ハミルトニアン力学の文脈において、アブリ・メイザー理論および弱 KAM 理論とどのように関係するか？

主な発見

• 本稿は、H^1(N;ℝ) にパラメータ付けられた、T*N のハミルトニアン群上の同次準準同型の族を構成した。
• N = T^n の場合、構成された族はヴィテルボのシンプレクティック平均化作用素と一致する。
• 準準同型は、固定された余接球 bundle 内に台を持つハミルトニアンを用いて定義され、局所的制御および構造的性質を保証する。
• 構成は、ハミルトニアン群における新しい代数的不変量を明らかにし、その幾何的・代数的構造を豊かにする。
• 結果は、余接 bundle 内のシンプレクティック剛性およびハミルトニアン力学を研究するための新たな道具を提供する。
• フレームワークは、シンプレクティック不変量とコホモロジー的データを結びつけ、トーラスから一般の閉多様体への既知の結果を拡張する。