[論文レビュー] Quasi-morphisms on Free Groups

Pascal Rolli|ArXiv.org|Nov 23, 2009

Finite Group Theory Research参考文献 5被引用数 24

ひとこと要約

この論文は、自由群の既約語分解における指数に添えられた有界列を用いて、自由群上の新しい一様準同型の族を構成し、2生成子以上の自由群の第二有界コホモロジーが無限次元であることを示すより単純な証明を提供する。さらに、コンパクトなリー群に双不変計量を備えた群を含む、小部分群のない群への一様準同型への一般化を行い、$ \varepsilon $-小部分群の議論を用いて非自明性を示している。

ABSTRACT

Let F be the free group over a set of two or more generators. R. Brooks constructed an infinite family of quasi-morphisms on F such that an infinite subfamily gives rise to independent classes in the second bounded cohomology of F, which proves that this space is infinite dimensional. We give a simpler proof of this fact using a different type of quasi-morphisms. After computing the Gromov norm of the corresponding bounded classes, we generalize our example to obtain quasi-morphisms on free products, as well as quasi-morphisms into groups without small subgroups, also known as epsilon-representations.

研究の動機と目的

• 2生成子以上の自由群の第二有界コホモロジー $ \mathrm{H}^2_{\mathrm{b}}(F,\mathbb{R}) $ が無限次元であることを示すより単純な証明を提供すること。
• 自由群上に、既約語分解における指数に添えられた有界実数列 $ \sigma \in \ell^\infty $ を用いて、新しい一様準同型のクラスを構成すること。
• 小部分群のない群、特に双不変計量を備えたコンパクトなリー群を値域とする一様準同型への構成の一般化。
• 列のノルムが十分に小さい場合、一様準同型に一様近似できないことを示すことにより、これらの一様準同型の非自明性を確立すること。

提案手法

• 各群元を一意的な最短分解に沿って分解し、その各項に $ \sigma \in \ell^\infty $ からの値を割り当て、加法的に拡張することで、$ F \to \mathbb{R} $ への写像 $ g_{\sigma} $ を定義する。
• 因数分解におけるキャンセルと $ \mathbb{Z} $ 上への $ \sigma $ の奇関数拡張を用いて、$ g_{\sigma} $ の欠損量 $ \sup |g_{\sigma}(x) + g_{\sigma}(y) - g_{\sigma}(xy)| $ を評価し、$ g_{\sigma} $ が一様準同型であることを証明する。
• Gromovノルムを計算することで、関連する有界コホモロジー類のサイズを解析する。
• $ G $ が小部分群のない群で、双不変計量を備えているとき、同じ因数分解に基づく加法的拡張を用いて、$ g_{\sigma} : F \to G $ への構成を一般化する。
• もし $ \|\sigma\|_\infty < \varepsilon/2 $ であれば、$ g_{\sigma} $ は任意の群準同型 $ \varphi : F \to G $ に一様近似できないことを示し、非自明性を証明する。そうでなければ、像が $ \varepsilon $-小部分群を生成してしまう。
• 計量の双不変性を用いて積における距離を制御し、欠損量が有界のままであることを保証する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 自由群上に、$ \mathrm{H}^2_{\mathrm{b}}(F,\mathbb{R}) $ の無限次元性を示すために、より単純な非自明な一様準同型の構成が可能か？
• RQ2 小部分群のない群への一様準同型が非自明であるための条件は何か？
• RQ3 有界コホモロジー類のGromovノルムは、列 $ \sigma $ とどのように関係するか？
• RQ4 自由群上の一様準同型の構成を $ \mathbb{R} $ 以外の目標群へ一般化できるか？
• RQ5 双不変計量は、一般化された設定における欠損量の有界性を保証するために果たす役割は何か？

主な発見

• 2つ以上の生成元を持つ自由群 $ F $ に対して構成された一様準同型 $ g_{\sigma} $ は、有界な欠損量を持つため、有効な一様準同型であることが証明された。
• 有界列 $ \sigma \in \ell^\infty $ の空間は、無限次元の一様準同型族を生じさせ、それに対応する $ \mathrm{H}^2_{\mathrm{b}}(F,\mathbb{R}) $ 内の類は線形独立である。
• 一様準同型 $ g_{\sigma} $ に関連する有界コホモロジー類のGromovノルムは有限かつ計算可能であり、その類の非自明性を裏付ける。
• 小部分群のない群 $ G $ と双不変計量を備えた群への一様準同型への構成は一般化可能である。
• もし $ \|\sigma\|_\infty < \varepsilon/2 $ であれば、$ g_{\sigma} $ は任意の群準同型 $ \varphi : F \to G $ に一様近似できないため、一様準同型の非自明性が証明された。
• $ G = \mathbb{R} $ の場合、この結果はBrooks型の一様準同型の非自明性を回復し、先行研究と整合性を確認した。