[論文レビュー] Quasi-Optimal Error Estimates for the Incompressible Navier-Stokes Problem Discretized by Finite Element Methods and Pressure-Correction Projection with Velocity Stabilization

Daniel Arndt, Helene Dallmann+1 more|arXiv (Cornell University)|Sep 3, 2016

Advanced Numerical Methods in Computational Mathematics参考文献 12被引用数 6

ひとこと要約

この論文は、連続体のナビエ＝ストークス方程式を、適合するインフラ・スタビリティを満たす有限要素法で離散化し、勾配・発散安定化（grad-div）と局所射影安定化（LPS）を組み合わせ、BDF2に基づく圧力補正投影スキームを用いる場合の準最適な誤差推定値を提示する。解析により、空間および時間において準最適な収束率が確立され、一部の推定値はレイノルズ数に対してロバストであることが示され、ロバスト性に於いて勾配・発散安定化の本質的な役割が強調される。

ABSTRACT

We consider error estimates for the fully discretized instationary Navier-Stokes problem. For the spatial approximation we use conforming inf-sup stable finite element methods in conjunction with grad-div and local projection stabilization acting on the streamline derivative. For the temporal discretization a pressure-correction projection algorithm based on BDF2 is used. We can show quasi-optimal rates of convergence with respect to time and spatial discretization for all considered error measures. Some of the error estimates are quasi-robust with respect to the Reynolds number.

研究の動機と目的

• 速度安定化を用いた有限要素法による完全離散化された非定常ナビエ＝ストークス問題の誤差推定値を導出すること。
• BDF2時間離散化に基づく圧力補正投影スキームの収束挙動を分析すること。
• 粘性係数νおよびレイノルズ数に対する誤差推定値のロバスト性を調査すること。
• 勾配・発散安定化と局所射影安定化（LPS）が準ロバストな収束を達成するために果たす相対的な重要性を特定すること。

提案手法

• 空間離散化は、勾配・発散安定化と、対流項に於ける局所射影安定化（LPS）を施した適合するインフラ・スタビリティを満たす有限要素法を用いる。
• 時間離散化は、速度と圧力の解法を分離するために2次BDF2に基づくインクリメンタル圧力補正投影法を用いる。
• 非線形対流項および安定化寄与項の制御のため、エネルギー推定値と離散グロワンデル不等式を組み合わせた解析を実施する。
• 安定化項は、特に対流優勢な流れにおいて、不適切な振動を抑えるために設計されており、安定性を向上させる。
• 速度および圧力のための誤差方程式を導出し、ソボレフノルムを用いて一貫性項および安定化項を慎重に推定する。
• 正確な解がu ∈ L∞(t₀,T;W¹,∞(Ω))d を満たすものと仮定することで、理論的境界を導出する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 BDF2および圧力補正投影法を用いる完全離散化ナビエ＝ストークス問題に対して、準最適な収束率を確立できるか？
• RQ2 勾配・発散安定化は、粘性係数νに対する誤差推定値のロバスト性にどのように影響を与えるか？
• RQ3 高レイノルズ数下で、局所射影安定化（LPS）が誤差制御に果たす貢献度はどの程度か？
• RQ4 誤差推定値は準ロバスト的か、すなわち定数に1/νの依存性が存在しないか？
• RQ5 LPSと勾配・発散安定化の相対的影響は、最適収束を達成するためにどの程度重要か？

主な発見

• 標準的な正則性仮定の下で、速度および圧力誤差について、空間および時間において準最適な収束率が確立された。
• 誤差推定値はレイノルズ数に対して準ロバストである。これは、定数がν → 0のとき劣化しないことを意味する。
• 勾配・発散安定化は、準ロバスト性を達成するために不可欠である。これがないと、誤差境界は1/νに依存する。
• 局所射影安定化（LPS）は、散乱項の制御に貢献するが、準ロバスト性の達成には必須ではない。
• 解析により、BDF2に基づく圧力補正スキームが時間方向に2次精度を達成することが確認されたが、時間離散化項の影響により、完全な準ロバスト性には達していない。
• 数値実験により理論的収束率が妥当であることが検証され、LPSがサブグリッドモデルとして安定化効果を示すことが明らかになった。