[論文レビュー] Quasi-particles in weak perturbations of non-interacting quantum lattice systems

Dmitry Yarotsky|ArXiv.org|Nov 11, 2004

Cold Atom Physics and Bose-Einstein Condensates参考文献 16被引用数 5

ひとこと要約

本稿は、非-degenerateなギャップ付き基底状態を有する弱い摂動を受ける非相互作用量子格子系において、準粒子の存在を確立する。$C^*$-代数的枠組みを用いて、元のスペクトルにおける孤立固有値が摂動系において粒子様状態を生じることを証明し、小さな摂動および相関関数の指数的減衰が成り立つ下で、漸近的に自由な多準粒子状態の散乱理論を構築する。

ABSTRACT

We consider a general weak perturbation of a non-interacting quantum lattice system with a non-degenerate gapped ground state. We prove that the presence of isolated eigenvalues in the spectrum of the decoupled model leads to the existence of quasi-particles in the perturbed model. Also, a scattering theory for asymptotically free many-particle states is developed.

研究の動機と目的

• 弱い摂動を受ける非-degenerateなギャップ付き基底状態を有する量子格子系における厳密な準粒子像の確立。
• 元のハミルトニアンにおける孤立固有値が摂動モデルにおいて安定な粒子様状態を生じることの証明。
• 摂動系における漸近的に自由な多準粒子状態の散乱理論の構築。
• マルコフ過程の正規化に依存しない準粒子像の導出が可能であることを示し、適用範囲を拡大すること。
• 小さな摂動下で、有限および無限体積において一様なスペクトル推定および相関関数の指数的減衰の提供。

提案手法

• 局所的相互作用を有する量子格子系の無限体積極限を分析するため、$C^*$-代数的枠組みを用いる。
• ハミルトニアン $ H = H_0 + \tilde{\rho} $ に摂動理論を適用する。ここで $ H_0 $ は非相互作用であり、スペクトルギャップ $ \neq 1 $ を有し、$ \tilde{\rho} $ は弱く有限範囲に及ぶ摂動である。
• 定理1を用いて一様なスペクトル推定を確立し、摂動ハミルトニアンが $ 1 - c_2 \norm{\tilde{\rho}} $ 比例のスペクトルギャップを保持することを示す。
• 再正規化ハミルトニアン $ \widetilde{H}_\Lambda $ を用いて、分離系の固有ベクトルの摂動的像として準粒子状態を構成する。
• 時間発展状態の漸近的展開を用いて、空間的に離れた領域における波動関数の波作用素 $ W_{\pm} $ を定義し、散乱状態を定義する。
• 相関関数の指数的減衰および局在化されたベクトルの漸近的直交性を用いて、波作用素の等長性および散乱のユニタリティを証明する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 量子格子系の元のスペクトルにおける孤立固有値が、摂動モデルにおいて安定な準粒子状態を生じる条件は何か？
• RQ2 弱い相互作用を受ける量子格子系において、漸近的に自由な多準粒子状態の散乱理論を厳密に構築できるか？
• RQ3 準粒子像は、マルコフ過程の正規化に依存せずに導出可能か？また、その最小限の枠組みは何か？
• RQ4 小さな摂動下で、有限および無限体積においてスペクトル特性（特にスペクトルギャップ）はどのように一様に振る舞うか？
• RQ5 時間発展した多体状態の漸近的挙動は、空間的に離れた領域でどのように振る舞い、散乱完全性とどのように関係するか？

主な発見

• 摂動ハミルトニアン $ H_\Lambda $ は、非-degenerateな基底状態 $ \Omega_\Lambda $ を持ち、下限が $ (1 - c_2 \sup_x \|\phi_x\|) $ であるスペクトルギャップを有する。これにより、小さな摂動下でも安定性が保証される。
• 再正規化ハミルトニアン $ \widetilde{H}_\Lambda $ のスペクトルは、$ \bigcup_{a \in \mathrm{Spec}(H_{\Lambda,0})} \{ z : |z - a| \leq c_2 \sup_x \|\phi_x\| a \} $ に含まれる。これにより、スペクトルシフトに対する摂動的制御が可能である。
• 準粒子状態は、分離系の固有ベクトルの摂動的像として存在し、全ハミルトニアンの時間発展演算子に関して不変な部分空間をなす。
• 波作用素 $ W_\pm $ は存在し、等長性を示す。これにより、漸近的に自由な多準粒子状態の散乱理論の完全性が証明される。
• 空間的に離れた領域における局在化されたベクトルの漸近的直交性により、$ \langle T\xi^{(1)}, T\xi^{(2)} \rangle = \delta_{\{x^{(1)}\},\{x^{(2)}\}} + o(\gamma^{|t|}) $（$ \gamma < 1 $）が成り立ち、適切な散乱挙動が保証される。
• 無限体積基底状態は、局所的 $ C^* $-代数上の状態として適切に定義され、有限体積基底状態の極限として得られ、相関関数の指数的減衰を示す。