[論文レビュー] Quasi-particles models for the representations of Lie algebras and geometry of flag manifold

Boris Feigin, A. V. Stoyanovsky|arXiv (Cornell University)|Aug 17, 1993

Algebraic structures and combinatorial models参考文献 6被引用数 99

ひとこと要約

本稿は、微分形式の制限付き対称冪と一般化されたセール関係式を用いて、アフィンリー代数の真空表現の主部分空間の双対に機能的モデルを構築する。極を持つ関数型の新しいホプフ代数構造を導入し、q-ポッホハマー記号を含む単項式重みとネストされた分割の和を用いた、新規の組合せ論的アプローチにより、sl₃のウェイル特徴式を再実現する。

ABSTRACT

We give a new interpretation and proof of the "quasi-particle" type character formulas for integrable representations of the simply-laced affine Kac-Moody algebras through a new "semi-infinite" construction of such representations. We compare formulas of this kind to other formulas obtained using the geometry of the corresponding flag manifold and in particular give a new proof to the Gordon type identities.

研究の動機と目的

• 微分形式の制限付き対称代数を用いて、アフィンリー代数の真空表現の主部分空間の双対を機能的モデルとして構築すること。
• sl₂からsl₃への準粒子的アプローチの一般化を、極条件を満たす多重次数関数型の導入により行い、高ランクリー代数に応用すること。
• 半無限の制限付き対称冪構成を用いて、bsl₃の可約最高ウェイト表現の特徴式を導出すること。
• コアルgebraおよびホプフ代数的手法を用いて、真空モジュールの消滅イデアルと双対空間の構造との関係を確立すること。
• 対称関数に極をもつ組合せ的制約を導入し、高ランクアフィンリー代数への特徴式の準粒子的実現を拡張すること。

提案手法

• 直線上のg*値をとる1形式の拡張対称代数を用いて、1変数関数型の多様次数空間の商として主部分空間Wkの双対空間を構成する。
• sl₂に対してはS*(k+1)T¹を定義し、根空間に対応する変数x_iとy_jをもつ2変数関数型空間を用いてsl₃への一般化を図る。
• 単純極を持つメラモーフィック関数上の関数型のホプフ代数A = ⊕A_{m,n}を定義し、(x_i - y_j)⁻¹のτ₊およびτ₋分解を用いたローラン展開を用いる。
• x₁=x₂=y₁またはy₁=y₂=x₁のとき多項式部fが消える条件を課すことにより、セール型関係式を導入し、eUの部分コアルgebra U ⊂ eUを定義する。
• 双対空間U*を用いてU(ĝ⁻)を商として実現し、Wk*をx₁=…=x_{k+1}およびy₁=…=y_{k+1}での追加の消滅条件を満たすU*の部分空間として特定する。
• q-ポッホハマー分母とN_i, M_jおよび∑_{i<j} M_i N_jの交差項を含む単項式重みのネストされた分割の和を用いて、Wkの特徴を導出する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 アフィンリー代数の主部分空間Wkの双対は、所定の極条件を満たす対称メラモーフィック形式の関数型空間としてどのように実現可能か？
• RQ2 単純極を持つメラモーフィック関数上の関数型のホプフ代数の構造は何か？また、その構造はアフィンリー代数の負部分の普遍包あくり代数とどのように関係するか？
• RQ3 k+1個の変数が一致するときに消えるという一般化されたセール関係式は、レベルkの真空表現の消滅イデアルをどのように特徴付けるか？
• RQ4 制限付き対称冪と組合せ的制約を用いた準粒子的モデルから、bsl₃の可約真空表現の特徴を導出可能か？
• RQ5 半無限の制限付き対称冪構成と、整数最高ウェイトモジュールの標準的特徴式との間の正確な関係は何か？

主な発見

• 双対空間(Wk)∗は、x₁…xₘy₁…yₙおよび(x_i - y_j)⁻¹の極を持つ対称関数f(x₁,…,xₘ;y₁,…,yₙ)の空間M = ⊕M_{m,n}と同型であり、x₁=…=x_{k+1}またはy₁=…=y_{k+1}のとき消える。
• sl₃の主部分空間Wkの特徴は、ch Wk(q,z₁,z₂) = ∑_{N₁≤…≤Nₖ, M₁≤…≤Mₖ} q^{∑N_i² + ∑M_j² - ∑_{i<j} M_i N_j} z₁^{∑N_i} z₂^{∑M_j} / [(q)_{N₂−N₁}⋯(q)_{Nₖ−Nₖ₋₁} (q)_{M₂−M₁}⋯(q)_{Mₖ−Mₖ₋₁}] で与えられる。
• z₁ = z₂ = 1のとき、特徴は4.3.4(c)節のΨ_{A₂⊗B⁻¹_k}に還元され、Lepowsky–PrimcおよびKedem–Mickelssonの既知の公式と一致する。
• ホプフ代数A = ⊕A_{m,n}は、極を持つメラモーフィック関数のローラン係数から構成され、乗法はコ乗法とτ₊/τ₋展開によって定義される。
• x₁=x₂=y₁またはy₁=y₂=x₁のときfが消えることで定義されるeUの部分コアルgebra U ⊂ eUは、U(ĝ⁻)と同型な双対空間を導き、その商はWk*を実現する。
• 可約表現V_{(0,0,k)}の完全な特徴は、(q)∞²でWkの特徴を割ることにより得られ、ネストされた分割およびq級数を用いた新しい表現が得られる。