[論文レビュー] Quasi-periodic and almost periodic homogenizations of integro-differential equations with Levy operators

Mariko Arisawa|arXiv (Cornell University)|Nov 4, 2011

Advanced Mathematical Modeling in Engineering参考文献 10被引用数 3

ひとこと要約

本稿は、係数に準周期的およびほぼ周期的揺動を含む2階の積分微分方程式の均質化を、Lévy作用素を用いて確立する。粘性解理論と非共鳴条件を用い、振動スケールが0に近づく際の解の極限を支配する一意な有効方程式の存在を証明する。周期的均質化を、より広いクラスのほぼ周期的および準周期的構造へと拡張する。

ABSTRACT

In this paper, we studied quasi-periodic and almost periodic homogenizations of integro-differential equations with Levy operators, which contain alpha stable Levy densities. This is the intermediate stage between the periodic homogenization and the stochastic homogenization of the non-local problem, and is the straight forward generalization of the case of partial differential equations.

研究の動機と目的

• Lévy作用素を有する積分微分方程式の周期的均質化結果を、準周期的およびほぼ周期的設定へと拡張すること。
• 複数スケールにおける非共鳴条件の下で、解の均質化極限の存在および一意性を確立すること。
• Bohrによる一様ほぼ周期性の定義を用いて、ほぼ周期的ケースにおける有効方程式を特徴付けること。
• α安定Lévy測度を有する非局所作用素へと、以前のHamilton-Jacobi方程式に関する結果を一般化すること。
• 係数の正則性仮定を最小限に抑えた条件下で、振動パrameter ε → 0 の際に解の一様収束を証明すること。

提案手法

• 粘性解理論を用いて、Lévy作用素を有する積分微分方程式の解の漸近的挙動を分析する。
• 準周期的揺動下で適切な極限が存在することを保証するため、複数スケール ε₁, ..., εₘ における非共鳴条件を適用する。
• Bohrの意味で一様収束するように、ほぼ周期関数 g(y) に近づく近似周期関数 gₘ(y₁, ..., yₘ) を構成する。
• 粘性サブ・スーパーソリューションの比較原理を用いて、上界および下界の極限が一意な解に収束することを証明する。
• トーラス位相空間上での平均作用素の極限をとることで、有効積分微分作用素 I̅ を導出する。
• α-安定Lévy作用素（分数ラプラシアン Δ^{α/2}）の構造を用い、α ∈ (0,2) に応じて1階および2階の挙動を同時に扱う。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 Lévy作用素を有する積分微分方程式の解が、振動スケール ε → 0 の際に収束する条件は何か？
• RQ2 周期的係数に対する均質化結果を、準周期的およびほぼ周期的係数のケースへと拡張できるか？
• RQ3 複数スケール ε₁, ..., εₘ における非共鳴条件は、均質化極限の存在および一意性にどのように影響するか？
• RQ4 ほぼ周期的設定における有効方程式の構造は何か？ また、振動係数からどのように導出されるか？
• RQ5 粘性解フレームワークは、ほぼ周期的ケースにおいて解の収束を一様に保証できるか？ どのような条件下で？

主な発見

• ほぼ周期的均質化問題において、任意の x ∈ ℝ^N に対して lim_{ε→0} u_ε(x) = ū(x) が一意に存在し、一様収束する。
• 均質化解 ū は、位相空間上での平均化により得られる有効積分微分方程式 ū + I̅(x, ∇ū, I[ū]) = 0 を ℝ^N で満たす。
• M 個の周波数を有する準周期的ケースでは、非共鳴条件の下で M-トーラス周期近似の極限により有効作用素が構成される。
• α = 1 で β(x,α) ≠ 0 であっても、a(y) が定数であれば、均質化プロセスの安定性が保証される。
• 有効作用素 I̅ は、トーラス上でのLévy測度および係数の平均を含む式で明示的に特徴付けられ、命題5.1に記載されている。
• 証明は、粘性解の比較原理と、近似周期関数がほぼ周期関数 g(y) にBohrの意味で一様収束することに依存する。