[論文レビュー] Quasi-periodic solutions of the Schrödinger equation with arbitrary algebraic nonlinearities

Weimin Wang|ArXiv.org|Jul 20, 2009

Quantum chaos and dynamical systems参考文献 8被引用数 4

ひとこと要約

本稿は、任意の代数的非線形項を有する非線形シュレーディンガー方程式がd次元トーラス上に時間準周期的解を有するための十分かつ本質的に必要となる幾何的条件を確立する。有限フーリエスペクトルを持つ解に対して、双特徴線の非交差および非ねじれ条件が、b個の周波数を持つ準周期的解の存在を保証することを証明し、1次元および立方非線形項に限らない一般の多項式非線形項（任意の次元dおよび任意のp ≥ 1）にまで拡張する。

ABSTRACT

We present a geometric formulation of existence of time quasi-periodic solutions. As an application, we prove the existence of quasi-periodic solutions of $b$ frequencies, $b\leq d+2$, in arbitrary dimension $d$ and for arbitrary non integrable algebraic nonlinearity $p$. This reflects the conservation of $d$ momenta, energy and $L^2$ norm. In 1d, we prove the existence of quasi-periodic solutions with arbitrary $b$ and for arbitrary $p$, solving a problem that started Hamiltonian PDE.

研究の動機と目的

• 任意の代数的非線形項に対して、準周期的解の存在を保証する線形解の幾何的条件を同定すること。
• 立方非線形項に限らない、|u|^{2p}u（p ≥ 1）の形をした一般多項式非線形項への準周期的解の存在を拡張すること。
• 非交差および非ねじれ条件が、非線形領域における準周期的解の保存に十分かつ本質的に必要であることを証明すること。
• 1次元および立方非線形項の既知の結果を、任意の次元dおよび任意のp ≥ 1（超臨界定常ケースを含む）に一般化すること。
• カントール型周波数集合上でKAM型手法を用いて、フーリエ係数に精密な制御を施したグローバル解を構成するフレームワークを提供すること。

提案手法

• 2つの幾何的条件を定式化する：(i) 初期解のスペクトルおよびその共役のサポート外における誤差項のフーリエスペクトルが、双特徴線集合と交差しないこと、(ii) 双特徴線多様体上で生成される畳み込み構造に起因する格子点の集合が非交差することを保証する非ねじれ条件。
• u(t,x) = ∑ ŝ(n,j) e^{in·ωt} e^{ij·x} の形で解をフーリエ表現し、ω ∈ ℤ^b を用いて準周期的解を記述する。
• 双特徴線集合 ℂ = {(n,j) ∈ ℤ^{b+d} | ±n·ω⁰ + j² = 0} を定義し、ℂ⁺, ℂ⁻ およびそれらの差集合 ℂ^{++}, ℂ^{+-} などの分解を施す。
• 非線形項 |u|^{2p}u 及びその共役項が生成する畳み込み構造を分析することで、部分Birkhoff正規形の手法を適用する。
• 解析的ノルムにおける摂動的議論を用い、小さい振幅δに対して、正の測度を持つカントール集合ℒ(δ) ⊂ (0,δ]^b が準周期的解を支持することを示す。
• フーリエ波数ベクトル{j_k}に関する多項式のcodimension-1ゼロ集合を用いて、共振状態を避ける。これにより、非ねじれ条件が一般に成立することが保証される。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 初期解u⁰に対して、任意の代数的非線形項|u|^{2p}uを有する非線形シュレーディンガー方程式が準周期的解を有するための幾何的条件は何か？
• RQ2 非交差および非ねじれ条件が、準周期性を破壊する可能性のある共振相互作用をどのように回避するか？
• RQ3 立方非線形項（p=1）に限らない、任意の次元dにおける一般のp ≥ 1への準周期的解の存在は拡張可能か？
• RQ4 準周期的解が存在する初期振幅の集合の測度的サイズは何か？また、非線形項の次数pに依存するか？
• RQ5 これらの幾何的条件はどの程度必要であり、双特徴線多様体上に生成される畳み込み格子点の構造とどのように関係するか？

主な発見

• 非交差条件により、非線形項に起因する誤差項が、u⁰およびその共役のもの以外の新たなフーリエモードを双特徴線集合上に導入しないことが保証される。
• 非ねじれ条件により、集合ℂ上に直径が無限大に発散する連結成分が形成されるのを防ぎ、KAM反復の収束に不可欠な性質が得られる。
• 任意のd ≥ 1およびp ≥ 1に対して、b ≤ d+2個の周波数を持つ準周期的解が、測度が1 - Cε^c以上（c > 0, ε ∈ (0,1)）であるカントール集合上の初期振幅で存在する。
• 各モードについて、周波数シフトω_k = j_k² + O(δ^{2p+1}) が確立され、非線形項が線形周波数に小さなが有限なずれを引き起こすことが示された。
• 立方非線形項（p=1）に対する既知の存在結果が、任意のp ≥ 1、特にグローバル存在が未知の超臨界定常ケースを含む一般化された形で拡張された。
• 証明により、波数ベクトル{j_k}の一般な選択に対して、非ねじれ条件は一般に成立することが示され、パラメータ空間において「悪い」配置の集合はcodimension-1をなす。