[論文レビュー] Quasi-plurisubharmonic envelopes 1: Uniform estimates on Kähler manifolds

Vincent Guedj, Chinh H. Lu|arXiv (Cornell University)|Jun 8, 2021

Geometry and complex manifolds参考文献 25被引用数 7

ひとこと要約

本稿は、非特異複素 Monge-Ampère方程式に対する一様 $L^∞$ 事前推定を、擬・正則函数の包とコンパクト性を用いて、従来の部分積分法を回避する新しい手法を導入する。この手法により、Kähler多様体上でのKolodziejの一様推定の新証明が得られ、それらは大コhomology類および退化する族へと拡張され、解の鋭い安定性および有界性結果が得られる。

ABSTRACT

We develop a new approach to $L^{\infty}$-a priori estimates for degenerate complex Monge-Ampère equations on complex manifolds. It only relies on compactness and envelopes properties of quasi-plurisubharmonic functions. Our method allows one to obtain new and efficient proofs of several fundamental results in Kähler geometry as we explain in this article. In a sequel we shall explain how this approach also applies to the hermitian setting producing new relative a priori bounds, as well as existence results.

研究の動機と目的

• コンパクトKähler多様体上における退化複素Monge-Ampère方程式に対する一様 $L^∞$ 事前推定を導くための新しい手法の開発。
• 古典的な部分積分法に代わる、コンパクト性および擬・正則函数の性質に依存する包に基づく手法の導入。
• Kähler幾何における一様有界性および安定性に関する既存結果を統合・一般化し、特に大コhomology類およびメトリクスの崩壊する族に対応。
• 別紙において、これらの推定をヘルミート（非Kähler）設定へと拡張する基盤を築く。

提案手法

• 擬・正則函数の包構成を用いて、Monge-Ampère測度の正性を制御する。
• psh函数の支配の原理および比較原理を適用し、解のグローバルな有界性を導出する。
• 解 $\varphi$ の成長を制御するための重み関数 $\chi$ を用い、Lebesgueの公式により $\chi$ を選定して可積分性を保証する。
• Chebyshev型不等式を用いて、$\{\varphi < -t\}$ の測度を包の $L^m(\mu)$-ノルムで評価する。
• 一様有界な $L^\infty$-ノルムを持つ近似解 $\varphi_j$ の列を構成し、有限エネルギークラスにおける極限をとる。
• Cegrellの分解定理に依拠して、非多様正則測度を滑らかな測度の極限として表現し、近似議論を可能にする。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 部分積分法を用いずに、退化Monge-Ampère方程式の解に対する一様 $L^\infty$ 界を導出可能か？
• RQ2 包法が、$L^p$-密度仮定の下でKolodziejの $L^\infty$ 推定を回復・一般化する方法は何か？
• RQ3 この手法は、大コhomology類およびメトリクスの退化する族へどの程度まで拡張可能か？
• RQ4 このアプローチにより、測度の摂動に対する解の鋭い安定性推定が得られるか？
• RQ5 $A_m(\mu)$-汎関数は、解の振幅を制御する上で果たす役割は何か？

主な発見

• 本稿では、$V^{-1}(\omega + dd^c\varphi)^n = \mu$ の有界解 $\varphi$ に対して、一様事前界 $\mathrm{Osc}_X(\varphi) \leq T\_\mu$ を確立し、$T\_\mu = T(A_m(\mu))$ は $\mathrm{PSH}(X,\omega)$ 上で $\sup \psi = 0$ を満たす $\psi$ の $L^m$-ノルムに依存する。
• 古典的手法により $\mu = f dV_X$ かつ $f \in L^p$, $p > 1$ の場合にKolodziejの $L^\infty$ 推定を回復し、Orlicz空間および絶対連続でない測度へと拡張する。
• 安定性推定が示され、測度 $\mu$ の小さな変化が解 $\varphi$ に制御された変化を引き起こすことが示され、$A_m(\mu)$ に依存する境界が得られる。
• 本手法は大コhomology類に適用可能であり、[BEGZ10] の結果を回復し、退化する族に対しても、[DnGG20] の境界を回復する。
• 非多様正則測度 $\mu = f dV_X$ で $f \in L^1$ の場合、近似および包の技法を用いて、有限エネルギー解 $\varphi$ がグローバルに有界であることを証明する。
• 重み $\chi$ の構成により、$\int_\Omega (\chi' \circ \varphi)^n d\mu \leq 2$ が保証され、包のMonge-Ampère質量が制御され、一様 $L^m(\mu)$ 界の確立が可能になる。