[論文レビュー] Quasi-Poisson Manifolds

Anton Alekseev, Yvette Kosmann–Schwarzbach+1 more|ArXiv.org|Jun 22, 2000

Homotopy and Cohomology in Algebraic Topology参考文献 7被引用数 4

ひとこと要約

本稿は、リー代数の不変内積に付随するカルタン3次テンソルから生成される三重ベクトル場と、シューテン括弧が等しい不変2次ベクトル場を備えたG-多様体としての擬ポisson多様体を導入する。非退化なハミルトニアン擬ポisson多様体と群値モーメント写像を備えた擬ハミルトニアンG-多様体との間に深い同値関係を確立し、融合と還元を用いて表現多様体にポアソン構造を構成することが可能になる。

ABSTRACT

A quasi-Poisson manifold is a G-manifold equipped with an invariant bivector field whose Schouten bracket is the trivector field generated by the invariant element in $\wedge^3 \g$ associated to an invariant inner product. We introduce the concept of the fusion for such manifolds, and we relate quasi-Poisson manifolds to the previously introduced quasi-Hamiltonian manifolds with group-valued moment maps.

研究の動機と目的

• 擬ポアソン多様体の構造を、リー代数の不変内積に付随するカルタン3次テンソルを含む特定のシューテン括弧条件を満たす不変2次ベクトル場を備えたG-多様体として形式化・研究すること。
• ポアソン幾何学からの構成を一般化する、擬ポアソン多様体における融合と還元の理論を構築すること。
• 非退化なハミルトニアン擬ポアソン多様体と群値モーメント写像を備えた擬ハミルトニアンG-多様体との間の正確な対応関係を確立すること。
• この対応関係を応用して、境界を持つ曲面 Σ に対して、表現多様体 $\operatorname{Hom}(\pi_1(\Sigma),G)/G$ に標準的なポアソン構造を構成すること。
• 一般化された動的r行列を導入し、一般化された古典的動的ヤン・バクスターベルヌール方程式の解であることを分析すること。

提案手法

• 擬ポアソン多様体を、不変2次ベクトル場 $P$ を備えたG-多様体 $M$ として定義し、$[P,P] = \phi_M$ を満たすものとし、ここで $\phi \in \wedge^3\mathfrak{g}$ は不変内積から得られるカルタン3次テンソルである。
• 既存の構造の積から新たな構造を構成する、擬ポアソン多様体の融合の概念を導入する。
• ハミルトニアン擬ポアソン多様体のモーメント写像 $\Phi: M \to G$ を定義し、三重組 $(M,P,\Phi)$ が群値モーメント写像を備えた擬ハミルトニアンG-多様体の公理を満たすことを示す。
• クロスセクション定理を用いて、任意のハミルトニアン擬ポアソン多様体が非退化な葉に一般化されたファイブレーションを持つことを証明する。
• 一般化された動的r行列 $r^{\mathfrak{g}/\mathfrak{h}}$ を構成し、リー代数の射影と代数的恒等式を用いて、一般化された古典的動的ヤン・バクスターベルヌール方程式を満たすことを証明する。
• 非退化なハミルトニアン擬ポアソン多様体と擬ハミルトニアンG-多様体との同値関係を応用し、$G$ のコピーの融合積に擬ポアソン構造を備えたものを還元することで、$\operatorname{Hom}(\pi_1(\Sigma),G)/G$ にポアソン構造を導出する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 群値モーメント写像を含む新しいG-多様体のクラスを通じて、ポアソン幾何学をどのように一般化できるか。
• RQ2 ハミルトニアン擬ポアソン多様体と群値モーメント写像を備えた擬ハミルトニアンG-多様体との間の正確な関係は何か。
• RQ3 表現多様体 $\operatorname{Hom}(\pi_1(\Sigma),G)/G$ におけるポアソン構造は、幾何的還元手続きから導出可能か。
• RQ4 カルタン3次テンソル $\phi \in \wedge^3\mathfrak{g}$ は、擬ポアソン条件 $[P,P] = \phi_M$ を定義するために果たす役割は何か。
• RQ5 一般化された動的r行列 $r^{\mathfrak{g}/\mathfrak{h}}$ はどのように一般化された古典的動的ヤン・バクスターベルヌール方程式を満たすか。

主な発見

• 任意のハミルトニアン擬ポアソン多様体は、非退化なハミルトニアン擬ポアソン部分多様体への一般化されたファイブレーションを持つ。
• 任意の非退化なハミルトニアン擬ポアソン多様体は、不変2次形式 $\omega$ を持ち、$(M,\omega,\Phi)$ が群値モーメント写像を備えた擬ハミルトニアンG-多様体の公理を満たす。
• 逆に、群値モーメント写像を備えた任意の擬ハミルトニアンG-多様体は、同じモーメント写像を備えた非退化な擬ポアソン構造を持つ。
• 境界を持つ向き付け可能な曲面 $\Sigma$ に対して、表現多様体 $\operatorname{Hom}(\pi_1(\Sigma),G)/G$ に誘導されるポアソン構造は、$G$ のコピーの融合積に擬ポアソン構造を備えたものを還元することで得られる。
• 一般化された動的r行列 $r^{\mathfrak{g}/\mathfrak{h}}$ は、リー代数における射影と代数的恒等式を用いて、一般化された古典的動的ヤン・バクスターベルヌール方程式を満たすことが証明された。
• 群 $G$ 上の擬ポアソン2次ベクトル場は、ループ群 $LG$ の中心拡大の双対リー代数上のポアソン2次ベクトル場と、余接関数と留数和を含む極限過程によって関係づけられる。