[論文レビュー] Quasi-Polynomial Time Approximation Schemes for Packing and Covering Problems in Planar Graphs

Michał Pilipczuk, Erik Jan van Leeuwen+1 more|arXiv (Cornell University)|Jan 1, 2018

Computational Geometry and Mesh Generation被引用数 1

ひとこと要約

本稿では、平面グラフにおける2つの基本的最適化問題—最大重みオブジェクト独立集合（MWISO）と最小重み距離集合被覆（MWDSC）—に対する、初めての準多項式時間近似スキーム（QPTAS）を提示する。再帰的分解とスパースな分離子に基づく幾何的近似技術を適応することで、Nがオブジェクト／頂点数、nがグラフサイズであるとき、時間 2^{poly(1/ϵ, log N)} · n^{O(1)} において (1+ϵ)-近似が達成される。

ABSTRACT

We consider two optimization problems in planar graphs. In {Maximum Weight Independent Set of Objects} we are given a graph G and a family D of {objects}, each being a connected subgraph of G with a prescribed weight, and the task is to find a maximum-weight subfamily of D consisting of pairwise disjoint objects. In {Minimum Weight Distance Set Cover} we are given an edge-weighted graph G, two sets D,C of vertices of G, where vertices of D have prescribed weights, and a nonnegative radius r. The task is to find a minimum-weight subset of D such that every vertex of C is at distance at most r from some selected vertex. Via simple reductions, these two problems generalize a number of geometric optimization tasks, notably {Maximum Weight Independent Set} for polygons in the plane and {Weighted Geometric Set Cover} for unit disks and unit squares. We present {quasi-polynomial time approximation schemes} (QPTASs) for both of the above problems in planar graphs: given an accuracy parameter epsilon>0 we can compute a solution whose weight is within multiplicative factor of (1+epsilon) from the optimum in time 2^{poly(1/epsilon,log |D|)}* n^{O(1)}, where n is the number of vertices of the input graph. Our main technical contribution is to transfer the techniques used for recursive approximation schemes for geometric problems due to Adamaszek, Har-Peled, and Wiese [Adamaszek and Wiese, 2013; Adamaszek and Wiese, 2014; Sariel Har-Peled, 2014] to the setting of planar graphs. In particular, this yields a purely combinatorial viewpoint on these methods.

研究の動機と目的

• 解の品質が最適解の (1+ϵ) 倍以内であるような、平面グラフにおけるパッケージングおよび被覆問題の効率的近似アルゴリズムの開発。
• 多角形の独立集合や単位円の集合被覆といった幾何的最適化問題を、平面グラフの文脈へ一般化すること。
• 元来ユークリッド空間を想定して設計された再帰的幾何的近似技術を、平面グラフの組合せ的設定へと移行すること。
• 幾何的埋め込みに依存しない、完全に組合せ的なフレームワークを用いて、平面グラフにおけるQPTASを確立すること。

提案手法

• アダマシェク、ハール・ピール、ワイエスらの幾何的設定における再帰的近似フレームワークを、グラフ分離子を用いて平面グラフへ適応する。
• 最適解と最小限に交差するスパースな分離子を用いた再帰的分解戦略を採用する。
• 最適解に含まれる可能性の高い高重み頂点（重い頂点）の小さな集合を予測し、残りのグラフを2つの部分問題に分割する。
• 深さに依存する近似係数を維持しながら、再帰的部分問題の階層に対して動的計画法を適用する。
• 現在の部分問題における最適解の重みに基づいた停止条件を備えた深さ制限付き再帰を用いる。
• キーレイマ（補題24）を活用し、再帰的部分問題がバランスの取れた重み分布を保ち、(1+ϵ)-近似解が得られることを保証する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 半径 r が入力に含まれるが定数でない場合、平面グラフにおけるパッケージングおよび被覆問題に対して、準多項式時間近似スキームを設計できるか？
• RQ2 幾何的最適化に用いられる再帰的分離子に基づく近似技術を、平面グラフの組合せ的設定に適応できるか？
• RQ3 MWISOおよびMWDSCに対して、実行時間が 2^{poly(1/ϵ, log N)} · n^{O(1)} である (1+ϵ)-近似が可能か？
• RQ4 平面グラフの構造的性質をどのように活用すれば、効率的かつ正確な近似アルゴリズムを設計できるか？
• RQ5 ボロノイ図と再帰的分解の幾何的直観を、平面グラフに対して完全に組合せ的に形式化できるか？

主な発見

• 本稿では、実行時間が 2^{poly(1/ϵ, log N)} · n^{O(1)} である平面グラフにおける最大重みオブジェクト独立集合（MWISO）のQPTASを提示する。
• 同様の漸近的実行時間で、平面グラフにおける最小重み距離集合被覆（MWDSC）のQPTASも開発された。
• 近似要因 (1+ϵ) は、スパースな分離子を用いた再帰的グラフ分解と、部分問題における最適解の重みの上限をとることで達成される。
• アルゴリズムは深さに依存する近似係数を用い、再帰的段階を経て累積的に (1 + 2d′ϵ) とされ、全体として (1+ϵ) 近似が保証される。
• 戦略は、高重み頂点（重い頂点）の小さな集合を予測し、残りの解の重みが各部分問題で境界づけられるようにグラフを分割することに依存する。
• アルゴリズムの正しさは、再帰の深さに関する帰納法により証明され、返される解の重みが最適解の重みの (1+ϵ) 倍以内であることが示される。