[論文レビュー] Quasi-polynomial time approximation schemes for the Maximum Weight Independent Set Problem in H-free graphs

Maria Chudnovsky, Marcin Pilipczuk+2 more|arXiv (Cornell University)|Jul 10, 2019

Complexity and Algorithms in Graphs被引用数 14

ひとこと要約

本稿では、H がパスおよび分割されたクモの形のグラフの不交和である H-フリーなグラフにおける最大重み独立集合問題（MWIS）に対して、準多項式時間近似スキーム（QPTAS）および超指数時間の正確なアルゴリズムを提示する。この手法は、構造的グラフ理論と拡張ストリップ分解における動的計画法を組み合わせており、(1−ε)-近似を poly(log n, 1/ε) の指数関数的時間で達成し、正確な計算を 2^O(n^{8/9} log n) 時間で行う。これにより、広範な H-フリーなグラフのクラスにおける未解決の計算複雑性問題が解消される。

ABSTRACT

In the Maximum Independent Set problem we are asked to find a set of pairwise nonadjacent vertices in a given graph with the maximum possible cardinality. In general graphs, this classical problem is known to be NP-hard and hard to approximate within a factor of $n^{1-\\varepsilon}$ for any $\\varepsilon > 0$. Due to this, investigating the complexity of Maximum Independent Set in various graph classes in hope of finding better tractability results is an active research direction. In $H$-free graphs, that is, graphs not containing a fixed graph $H$ as an induced subgraph, the problem is known to remain NP-hard and APX-hard whenever $H$ contains a cycle, a vertex of degree at least four, or two vertices of degree at least three in one connected component. For the remaining cases, where every component of $H$ is a path or a subdivided claw, the complexity of Maximum Independent Set remains widely open, with only a handful of polynomial-time solvability results for small graphs $H$ such as $P_5$, $P_6$, the claw, or the fork. We show that for every graph $H$ for which Maximum Independent Set is not known to be APX-hard and SUBEXP-hard in $H$-free graphs, the problem admits a quasi-polynomial time approximation scheme and a subexponential-time exact algorithm in this graph class. Our algorithm works also in the more general weighted setting, where the input graph is supplied with a weight function on vertices and we are maximizing the total weight of an independent set.

研究の動機と目的

• H がパスおよび分割されたクモの形のグラフの不交和である H-フリーなグラフにおける最大重み独立集合（MWIS）の計算複雑性ギャップを埋める。
• APX-hard や SUBEXP-hard でないと知られていない場合の、H-フリーなグラフにおける MWIS のための効率的アルゴリズムを提供する。
• 広範な H-フリーなグラフのクラスにおいて、近似と正確計算を統合するフレームワークを構築する。
• 以前の SODA 2020 の要約には存在しなかった、超指数時間の正確なアルゴリズムを含める形で、先行研究を拡張する。

提案手法

• H-フリーなグラフにおけるクモやロブスターなどの誘導部分構造を特定するために、構造的グラフ理論を活用する。
• 拡張ストリップ分解を適用して、重みが有界なアトムにグラフを分割し、動的計画法を可能にする。
• 高重みのコンponents を分離し、低重みの部分では近似を適用する再帰的分解戦略を採用する。
• 重みに基づく刈り込み技術を用いて、候補解の数を制限し、準多項式時間実行を保証する。
• 存在的補題（例：補題 6.5）と列挙を統合し、有限な候補解の族を構築する。
• 得られた分解における動的計画法と (1−ε)-近似フレームワークを統合し、QPTAS を達成する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 H がパスおよび分割されたクモの形のグラフの不交和である場合に、MWIS に対して準多項式時間近似スキームを設計できるか？
• RQ2 このような H-フリーなグラフにおける MWIS に対して、超指数時間の正確なアルゴリズムを達成できるか？
• RQ3 MWIS の一般の NP 困難性にもかかわらず、H-フリーなグラフのどの構造的性質が効率的な近似と正確計算を可能にするのか？
• RQ4 拡張ストリップ分解は、アトムの重みをどのように制限し、H-フリーなグラフにおける動的計画法をどのように導くのか？
• RQ5 構造的分解と近似技法の組み合わせにより、このグラフクラスに対して統一的なアルゴリズムフレームワークを構築できるか？

主な発見

• H がパスおよび分割されたクモの形のグラフの不交和である任意の H に対して、MWIS は、log|V(G)| および ε⁻¹ の多項式の指数関数的時間で実行される準多項式時間近似スキーム（QPTAS）を有する。
• H-フリーなグラフにおける MWIS の正確なアルゴリズムは、超指数時間 2^O(|V(G)|^{8/9} log|V(G)|) で実行され、以前の指数的境界を改善する。
• アルゴリズムフレームワークは重み付き設定でも機能し、任意の頂点重みをサポートする。
• 拡張ストリップ分解におけるすべてのアトムの重みが (1−σ³⁴)·w(G) 未満であることが保証され、効果的な刈り込みが可能になる。
• 検討される候補解の数は O(|V(G)|⁶) で抑えられ、準多項式時間の列挙が保証される。
• 任意の ε>0 に対して (1−ε)-近似が達成可能であり、実行時間の ε⁻¹ 依存性は log|V(G)| に対して多項式的である。