[論文レビュー] Quasi-regular representations and property RD

Adrien Boyer|arXiv (Cornell University)|May 2, 2013

Advanced Operator Algebra Research参考文献 11被引用数 3

ひとこと要約

本稿は、Banach表現における行列係数の$L^1$-可積分性を用いた、性質RD（急速減少）の新しい特徴付けを確立する。特に、単純なリー群における非一様格子の準正則表現に対して適用される。このような表現は性質RDを満たさず、また弱ハリッシュ・チャンドラ不等式も破れる。その理由は、これらの格子における巡回部分群の指数的増大に起因する。

ABSTRACT

We study \emph{property RD} in terms of rapid decay of matrix coefficients. We give new formulations of property RD in terms of a $L^{1}$-integra\-bility condition of a Banach representation. Combining this new definition with the existence of cyclic subgroups of exponential growth in non-uniform lattices in semisimple Lie groups, we deduce that there exist matrix coefficients associated to several kinds of quasi-regular representations which satisfy a "non-RD condition" for non-uniform lattices. We obtain also that such coefficients can not satisfy \emph{the weak inequality} of Harish-Chandra.

研究の動機と目的

• 行列係数の$\mathcal{L}^1$-可積分性条件を用いた、Banach空間表現における性質RDの再定式化。
• 単純なリー群における非一様格子の準正則表現が、性質RDを満たすかどうかの調査。
• そのような表現の行列係数が弱ハリッシュ・チャンドラ不等式を満たすかどうかの特定。
• 性質RDの失敗が、非一様格子における巡回部分群の指数的増大とどのように関連するかの接続。
• 非コンパクトな同次空間に有限不変測度を持たない場合に生じる正の表現において、性質RDの構造的障害を確立すること。

提案手法

• ユニタリ表現$\pi: G \to U(\mathcal{H})$によって誘導されるBanach空間表現$c: G \to U(\mathcal{L}^1(\mathcal{H}))$を定義し、$c(g)T = \pi(g)T\pi(g^{-1})$で与える。
• 行列係数$\langle c(g)S, T \rangle$の$L^1$-可積分性と、測度$d\mu = dg / (1+L(g))^d$に関する$\langle \pi(g)\xi, \eta \rangle$の$L^2$-可積分性を含む4条件の同値性を証明する。
• $L^2(G/H)$上の準正則表現における正の性質を用いて、性質RDの条件を、正の$\xi \in \mathcal{H}_+$に対して$\langle \lambda_{G/H}(g)\xi, \xi \rangle^2 / (1+L(g))^{d_\xi}$の可積分性に還元する。
• ムーアのエルゴディシティの定理と$G/H$上に有限$G$-不変測度が存在しないことを利用して、準正則表現$\lambda_{G/H}|_\Gamma$が非ゼロの不変ベクトルを持たないことを示す。
• 非一様格子に指数的増大を示す巡回部分群が存在することを用いて、性質RDまたは弱ハリッシュ・チャンドラ減衰を仮定した場合に矛盾を導く。
• 単純なリー群上での$\Xi(g)^2 / (1+L(g))^{d_0}$の既知の可積分性を活用し、弱減衰を仮定すると、$\sum \langle \lambda_{G/H}(\gamma)\xi, \xi \rangle^2 / (1+L(\gamma))^{d_\xi}$の発散と矛盾する有限和が得られることを示す。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 性質RDは、作用素ノルム推定ではなく、Banach表現における行列係数の$L^1$-可積分性を用いて同値に特徴付けられるか？
• RQ2 単純なリー群における非一様格子の準正則表現が、長さ関数に関して性質RDを満たすか？
• RQ3 そのような表現の行列係数は弱ハリッシュ・チャンドラ不等式を満たすか？
• RQ4 巡回部分群の指数的増大が、これらの表現における急速減少の失敗に果たす役割は何か？
• RQ5 有限不変測度を持たない非コンパクトな同次空間から生じる正の表現において、性質RDの構造的障害は存在するか？

主な発見

• ユニタリ表現$\pi$について、測度$dg / (1+L(g))^d$の下で、$\mathcal{L}^1(\mathcal{H})$内の単位ベクトル$S,T$についての行列係数$\langle c(g)S, T \rangle$の$L^1$-可積分性と、性質RDが同値である。
• 測度$\mu$に関する$L^2(X,m)$上の正の表現について、性質RDが成り立つのは、ある$d_\xi \geq 1$およびすべての正の$\xi \in \mathcal{H}_+$に対して$\int_G \frac{\langle \pi(g)\xi, \xi \rangle^2}{(1+L(g))^{d_\xi}} dg < \infty$が成り立つときである。
• 単純なリー群$G$における非一様格子$\Gamma$の準正則表現$\lambda_{G/H}|_\Gamma$は、$G/H$上に有限$G$-不変測度が存在しないことから、非ゼロの不変ベクトルを持たない。
• 無限位の巡回部分群$\mathbb{Z} \subset \Gamma$を生成する単位元$u$について、制限$\lambda_{G/H}|_\mathbb{Z}$は性質RDを満たさない。これは、ある正の$\xi \in \mathcal{H}_+$に対して$\sum_{\gamma \in \mathbb{Z}} \frac{\langle \lambda_{G/H}(\gamma)\xi, \xi \rangle^2}{(1+L(\gamma))^{d_\xi}} = \infty$となることから示される。
• 行列係数$\langle \lambda_{G/H}(g)\xi, \xi \rangle$は弱ハリッシュ・チャンドラ不等式を満たさない。仮定すると、和の発散と$G$上での$\Xi(g)^2 / (1+L(g))^{d_0}$の可積分性との矛盾が生じる。
• 性質RDおよび弱減衰の失敗は、非一様格子における巡回部分群の指数的増大に直接関連しており、行列係数の均一な減衰率の存在を妨げる。