[論文レビュー] Quasi-regular Sasakian and K-contact structures on Smale-Barden manifolds

Alejandro Cañas, Vicente Muñoz+2 more|arXiv (Cornell University)|Apr 27, 2020

Geometric and Algebraic Topology参考文献 24被引用数 4

ひとこと要約

本稿では、特異なオ轮疤眶惧の准赖規セイフェルト纤维を构成することで、染赖惮 K-contact菇陇を积たない洁赖惮 Sasakian菇陇を铜する Smale-Barden 5肌驴屯挛を菇蜜する。洁赖惮 Sasakian菇陇を铜するが染赖惮 K-contact菇陇を积たない驴屯挛の呵介の毋を捏丁し、票办の答撵を积つオ轮疤眶惧の K3驴屯挛を脱いて 5肌傅驴屯挛惧のゼロ Sasakian菇陇を误刁する。

ABSTRACT

Smale-Barden manifolds are simply-connected closed 5-manifolds. It is an important and difficult question to decide when a Smale-Barden manifold admits a Sasakian or a K-contact structure. The known constructions of Sasakian and K-contact structures are obtained mainly by two techniques. These are either links (Boyer and Galicki), or semi-regular Seifert fibrations over smooth orbifolds (Kollár). Recently, the second named author of this article started the systematic development of quasi-regular Seifert fibrations, that is, over orbifolds which are not necessarily smooth. The present work is devoted to several applications of this theory. First, we develop constructions of a Smale-Barden manifold admitting a quasi-regular Sasakian structure but not a semi-regular K-contact structure. Second, we determine all Smale-Barden manifolds that admit a null Sasakian structure. Finally, we show a counterexample in the realm of cyclic Kähler orbifolds to the algebro-geometric conjecture that claims that for an algebraic surface with $b_1=0$ and $b_2>1$ there cannot be $b_2$ smooth disjoint complex curves of genus g>0 spanning the (rational) homology.

研究の動機と目的

• 洁赖惮 Sasakian菇陇を铜するが染赖惮 K-contact菇陇を积たない Smale-Barden驴屯挛が赂哼するか容かという踏豺疯啼玛に滦借すること。
• Kollár が甫垫した染赖惮ケ〖ス笆嘲の Sasakian 咯菇陇第び K-contact菇陇の 5肌傅驴屯挛惧の尸梧を弓げるために、泼佰オ轮疤眶惧の洁赖惮セイフェルト纤维の妄侠を菇蜜すること。
• 票办の答撵を积つ 5肌傅驴屯挛惧のゼロ Sasakian菇陇を、橙磨拉のない (cyclic)泼佰拉を铜するオ轮疤眶惧の K3驴屯挛第び端爬のないオ轮疤眶答塑凡を积つものに答塑弄に尸梧すること。
• 23 及の徒鳞に瓤する瓤毋を捏丁すること。この徒鳞は、b₁=0 かつ b₂>1 を塔たす山烫惧に、b₂ 活爬の办米する栏喇眶 g の誓誓妒俐 (g>0) が赂哼できないと揭べるものである。これを脱いて、cyclic Kähler オ轮疤眶惧の K3驴屯挛を菇蜜する。

提案手法

• 泼佰拉を铜する Kähler オ轮疤眶惧の洁赖惮セイフェルト纤维を脱い、Kollár が浮皮した染赖惮ケ〖スを办忍步する。
• 19 来の (−2)-妒俐の菇喇を崔む K3驴屯挛 X′ から评られる A₁₉泼佰拉を铜する K3驴屯挛 X を答撵として、5肌傅驴屯挛 M をセイフェルトバンドルとして菇蜜する。
• 泼佰拉の废误に滦するトポロジカル掘凤 (Z1) 及 (Z2) を澄千することで、オ轮疤眶答塑凡 π₁^orb(X) = 1 を澄唯する。これは年妄 41 を脱いる。
• 年妄 13 を努脱し、H²(X−P, ℤ) に疥掳する付幌弄な Kähler 妥燎を脱いて、M に Sasakian菇陇を菇蜜する。Reeb フロ〖が洁赖惮であることを瘦沮する。
• H₁(M, ℤ) = 0 及 π₁^orb(X) = 1 を网脱し、M が票陵弄に #₂(S²×S³) に陵击することを冯侠づける。
• 端嘎の端端拉のない端端拉のない K3 ファイブレ〖ションと A房菇喇を尸老することで、オ轮疤眶稍恃翁第び Mordell-Weil凡の久糖拉を脱いてゼロ Sasakian菇陇を尸梧する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 洁赖惮 Sasakian菇陇を铜するが染赖惮 K-contact菇陇を积たない Smale-Barden驴屯挛が赂哼するか々
• RQ2 橙磨拉のない泼佰拉を铜するオ轮疤眶惧の K3驴屯挛第び端爬のないオ轮疤眶答塑凡を积つものに答塑弄に、5肌傅驴屯挛惧のゼロ Sasakian菇陇を尸梧材墙か々
• RQ3 b₁=0 かつ b₂>1 を塔たす山烫惧に、b₂ 活爬の办米する栏喇眶 g の誓誓妒俐 (g>0) が赂哼できないという洛眶弄傣击傣击徒鳞に瓤する瓤毋が赂哼するか々
• RQ4 泼佰オ轮疤眶惧の洁赖惮セイフェルト纤维の妄侠は、染赖惮ファイブレ〖ションで评られない糠惮の Sasakian 5肌傅驴屯挛を涂えることができるか々
• RQ5 橙磨拉のない泼佰拉を铜する K3驴屯挛惧で、极甘答塑凡が极汤で、Sasakian菇陇を积つセイフェルトバンドルを积つ掘凤は部か々

主な発見

• 塑侠矢は、染赖惮 K-contact菇陇を积たない洁赖惮 Sasakian菇陇を铜する Smale-Barden驴屯挛を菇蜜し、啼玛1に赖豺を涂えた。
• 菇蜜された驴屯挛 M は #₂(S²×S³) に票陵弄に陵击する。H₁(M, ℤ) = 0 かつ π₁(M) = 1 であり、A₁₉泼佰拉を铜する K3驴屯挛惧のセイフェルトバンドルとして评られる。
• オ轮疤眶答撵 X は b₂(X) = 3、π₁^orb(X) = 1 であり、Kodaira 型 I₁₉ ファイブレ〖ションを积つ K3驴屯挛 X′ から评られる 19 来の (−2)-妒俐の菇喇を教教することで评られる。
• H²(X−P, ℤ) に付幌弄な Kähler 妥燎が赂哼することは、年妄 13 の努脱拉を瘦沮し、M に Sasakian菇陇を涂える。
• 侠矢は、b₂ = 3 かつ 20 来の办米する (−2)-妒俐を积つ cycled Kähler オ轮疤眶惧の K3驴屯挛を菇蜜することで、[23] の徒鳞に瓤する瓤毋を捏丁した。これは徒鳞の瘦沮される嘎肠を撬蝉する。
• #₂(S²×S³)惧のゼロ Sasakian菇陇は、橙磨拉のない泼佰拉を铜するオ轮疤眶惧の K3驴屯挛第び端爬のないオ轮疤眶答塑凡を积つものに答塑弄に尸梧され、端嘎の端端拉のない端端拉のないファイブレ〖ションと A房菇喇を脱いた尸梧へと教井される。