[論文レビュー] Quasi-regular sequences and optimal schedules for security games

David Kempe, Leonard J. Schulman+1 more|CaltechAUTHORS (California Institute of Technology)|Nov 22, 2016

Advanced Graph Theory Research被引用数 9

ひとこと要約

本稿では、連続時間のセキュリティゲームにおける防御者スケジューリングの最適戦略として、特に2-準正則およびランダム化2-準正則シーケンスであるK-準正則シーケンスを導入する。黄金比の性質とエルゴディック理論を活用することで、標的の価値が不均等であっても、防御者が標的に切り替えるのに単位時間が必要な状況においても、攻撃者の期待利得を最小化するシーケンスが保証されることを証明し、長年のセキュリティゲームにおけるスケジューリング課題を解決する。

ABSTRACT

We study security games in which a defender commits to a mixed strategy for protecting a finite set of targets of different values. An attacker, knowing the defender's strategy, chooses which target to attack and for how long. If the attacker spends time $t$ at a target $i$ of value $α_i$, and if he leaves before the defender visits the target, his utility is $t \cdot α_i $; if the defender visits before he leaves, his utility is 0. The defender's goal is to minimize the attacker's utility. The defender's strategy consists of a schedule for visiting the targets; it takes her unit time to switch between targets. Such games are a simplified model of a number of real-world scenarios such as protecting computer networks from intruders, crops from thieves, etc. We show that optimal defender play for this continuous time security games reduces to the solution of a combinatorial question regarding the existence of infinite sequences over a finite alphabet, with the following properties for each symbol $i$: (1) $i$ constitutes a prescribed fraction $p_i$ of the sequence. (2) The occurrences of $i$ are spread apart close to evenly, in that the ratio of the longest to shortest interval between consecutive occurrences is bounded by a parameter $K$. We call such sequences $K$-quasi-regular. We show that, surprisingly, $2$-quasi-regular sequences suffice for optimal defender play. What is more, even randomized $2$-quasi-regular sequences suffice for optimality. We show that such sequences always exist, and can be calculated efficiently. The question of the least $K$ for which deterministic $K$-quasi-regular sequences exist is fascinating. Using an ergodic theoretical approach, we show that deterministic $3$-quasi-regular sequences always exist. For $2 \leq K < 3$ we do not know whether deterministic $K$-quasi-regular sequences always exist.

研究の動機と目的

• 標的間の切り替えに単位時間が必要である連続時間セキュリティゲームにおいて、最適防御者スケジュールを求める課題に対処すること。
• 各記号の出現間隔の比が有界で、所定の極限周波数を持つ有限アルファベット上の無限シーケンスとして防御戦略をモデル化すること。
• 最大間隔と最小間隔の比が常に2以下である2-準正則シーケンスが、一般の周波数分布に対して1-準正則シーケンスが存在しないにもかかわらず、最適防御者戦略をもたらすことを確立すること。
• 決定的およびランダム化2-準正則シーケンスが常に存在し、効率的に計算可能であり、最適応答を行う攻撃者に対しても最適防御を保証できることを示すこと。
• このようなシーケンスの理論的限界を検討し、決定的3-準正則シーケンスが常に存在し、最適戦略に対して約1.006-近似を達成することを示すこと。

提案手法

• 防御者の戦略を、各標的iが所定の極限周波数piで出現する有限の標的集合上の無限シーケンスとしてモデル化する。
• K-準正則シーケンスを、記号iの連続する出現間隔の最大値と最小値の比がK以下であるものとして定義する。
• 黄金比ϕを用いて、(λ + t/ϕ) mod 1の小数部に基づくスケジュールを構築し、標的訪問の均等な間隔を保証する。
• 決定的およびランダム化2-準正則シーケンスが、攻撃者の期待利得を最小化することで最適防御者利得を達成することを証明する。
• ϕの連分数近似の性質とエルゴディック理論を応用し、3-準正則シーケンスの存在と効率的な計算可能性を示す。
• ϕの有理数近似とランダムオフセットλを用いてアルゴリズムを実装し、桁精度を制御することで誤差を制御し、高い確率で正しく動作することを保証する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 連続時間セキュリティゲームにおける最適防御者戦略は、標的訪問間隔の比が有界な組み合わせ的シーケンスに還元可能か？
• RQ2 一般の標的価値分布に対して1-準正則シーケンス（等差数列）は常に存在するか？もし存在しない場合、代替のシーケンスでも最適戦略が達成可能か？
• RQ3 1-準正則シーケンスが存在しない状況においても、2-準正則シーケンスを用いて最適防御者利得を達成可能か？
• RQ4 ランダム化2-準正則シーケンスも最適性を保証可能か？もしそうなら、効率的に計算可能か？
• RQ5 決定的K-準正則シーケンスが常に存在する最小のKは何か？また、それらはどのような近似保証を提供するか？

主な発見

• 最大間隔と最小間隔の比が常に2以下である2-準正則シーケンスは、セキュリティゲームにおいて最適防御者利得を保証する。
• ランダム化2-準正則シーケンスも最適性を達成し、耐障害性と実用的妥当性を提供する。
• 一般のpiに対して1-準正則シーケンスが存在しないにもかかわらず、2-準正則シーケンスは常に存在し、効率的に計算可能である。
• 決定的3-準正則シーケンスは常に存在し、最適防御者戦略に対して約1.006-近似を達成する。
• 十分に小さいpiに対しては、任意のε>0について(1+ε)-準正則決定的シーケンスが存在し、最適に近い戦略を実現可能である。
• スケジュールを計算するアルゴリズムは、ϕの有理数近似とO(log n + log t)桁のランダムネスを用いて多項式時間で実行可能であり、高い確率で正しく動作することが保証される。