[論文レビュー] Quasi-Shadowing and Quasi-Stability for Dynamically Coherent Partially Hyperbolic Diffeomorphisms

Huyi Hu, Yunhua Zhou+1 more|arXiv (Cornell University)|May 1, 2014

Mathematical Dynamics and Fractals参考文献 12被引用数 5

ひとこと要約

本稿は、コンパクトなリーマン多様体上の動的同調的部分双曲微分同相写像に対して、準シャドーイングおよび位相的準安定性の性質を確立する。平板な拡張性と動的同調性に基づく幾何的アプローチを用いて、任意の擬軌道が、連続する点が同じ中心葉上にあるような列によって準追跡可能であることを証明し、$ C^0 $-近いホメオモルフィズムが中心葉に沿った運動を保つ連続な共役写像を有することを示す。これにより、アノソフ系に限らない安定性理論が拡張される。

ABSTRACT

Let $f$ be a partially hyperbolic diffeomorphism. $f$ is called has the quasi-shadowing property if for any pseudo orbit $\{x_k\}_{k\in \mathbb{Z}}$, there is a sequence $\{y_k\}_{k\in \mathbb{Z}}$ tracing it in which $y_{k+1}$ lies in the local center leaf of $f(y_k)$ for any $k\in \mathbb{Z}$. $f$ is called topologically quasi-stable if for any homeomorphism $g$ $C^0$-close to $f$, there exist a continuous map $π$ and a motion $τ$ along the center foliation such that $π\circ g=τ\circ f\circπ$. In this paper we prove that if $f$ is dynamically coherent then it has quasi-shadowing and topological quasi-stability properties.

研究の動機と目的

• 動的同調的で部分双曲的な微分同相写像に対して、擬軌道が中心葉に沿って移動するような列によって準追跡可能であるという準シャドーイング性質を確立すること。
• 共役写像が中心葉に沿った運動を保つ場合に、$ C^0 $-摂動に対して位相的準安定性を達成すること。
• 解析的手法の制限を克服するため、動的同調性と平板な拡張性に依存する幾何的枠組みを構築すること。
• アノソフ系におけるシャドーイング／安定性と、滑らかでない中心葉を持つ部分双曲的系との間のギャップを埋めること。

提案手法

• 安定・不安定葉への繰り返し射影と中心葉との交点を用いて、幾何的構成により準シャドーイング列を定義する。
• 平板な拡張性を用いて、同じ中心プレート内に複数の解が存在しないことを保証し、準シャドーイング列の一意性を確保する。
• 各 $ x $ の $ g $-軌道に対応する準シャドーイング列の中心点 $ y_0^* $ を用いて共役写像 $ \pi $ を定義し、極限による議論により連続性を保証する。
• 中心葉に沿って点を動かす写像の族 $ \tau_x $ を構成し、$ \pi \circ g = \tau \circ f \circ \pi $ を満たすことで、位相的準安定性を達成する。
• 安定・不安定葉が横断的に交わって一意的な中心葉を生成することを保証するため、動的同調性に依存して幾何的構成を実現する。
• ボーゲンの方法を、中心葉構造に適合させ、摂動に対して安定性を保証する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 動的同調的で部分双曲的な微分同相写像の任意の擬軌道は、連続する点が同じ中心葉上にあるような準シャドーイング列によって追跡可能か？
• RQ2 $ C^0 $-近いホメオモルフィズムに対して、共役写像が中心葉に沿った運動を保つ場合、位相的準安定性を達成できるか？
• RQ3 平板な拡張性が動的同調性のもとで、準シャドーイング列の一意性をどのように保証するか？
• RQ4 滑らかでない中心葉を持つ部分双曲的系において、安定性の証明に解析的手法に代わる幾何的アプローチをどの程度まで適用できるか？
• RQ5 準シャドーイングによって定義される共役写像 $ \pi $ は、十分に小さい $ \varepsilon $-摂動のもとで連続的かつ全射的か？

主な発見

• 本稿は、任意の動的同調的で部分双曲的な微分同相写像 $ f $ が準シャドーイング性を持つことを証明している。任意の擬軌道 $ \{x_k\} $ に対して、$ y_{k+1} $ が $ f(y_k) $ の局所的中心葉上にあり、かつ $ \{y_k\} $ が $ \{x_k\} $ を $ \varepsilon $-準追跡するような列 $ \{y_k\} $ が存在する。
• 平板な拡張性の仮定のもとで、準シャドーイング列は一意的であり、これにより安定性が保証され、明確に定義された共役写像の構成が可能になる。
• $ C^0 $-近い任意のホメオモルフィズム $ g $ に対して、連続写像 $ \pi $ と中心葉に沿った写像の族 $ \{\tau_x\} $ が存在し、$ \pi \circ g = \tau \circ f \circ \pi $ を満たす。これにより、位相的準安定性が確立される。
• 十分に小さい $ \varepsilon $ に対して、共役写像 $ \pi $ は連続的かつ全射的であり、これはウォルターズ (1975) の補題3によって保証される。
• 写像族 $ \{\tau_x\} $ は $ x $ に対して連続的依存しており、摂動に対して安定構造が保たれることを示している。
• 中心葉の $ C^1 $-滑らかさを仮定しないでも、本結果は成り立つ。これにより、従来の解析的手法が要請する滑らかさ条件を排除した。