[論文レビュー] Quasi-shuffle products

Michael E. Hoffman|ArXiv.org|Jul 27, 1999

Advanced Combinatorial Mathematics参考文献 8被引用数 73

ひとこと要約

本稿では、非可換多項式代数における準シャッフル積を導入し、可換で、結合的で、次数を加法的に保つ括弧演算 [a,b] を組み込むことで、シャッフル積を一般化する。この結果得られる代数が可換で、結合的で、k-次数付き代数であることを証明し、ホップ代数構造を構成する。主な貢献は、シャッフル代数から準シャッフル代数への明示的な同型写像 exp を構成し、後者があるリュンドン語の自由多項式代数であることを示すことである。

ABSTRACT

Given a locally finite graded set A and a commutative, associative operation on A that adds degrees, we construct a commutative multiplication * on the set of noncommutative polynomials in A which we call a quasi-shuffle product; it can be viewed as a generalization of the shuffle product. The resulting commutative algebra can be given the structure of a Hopf algebra (_A_,*,Delta). In the case where A is the set of positive integers and the operation on A is addition, (_A_,*,Delta) is the Hopf algebra of quasi-symmetric functions. If rational coefficients are allowed, there is a Hopf algebra isomorphism exp from the shuffle Hopf algebra on A onto (_A_,*,Delta). We discuss the dual of (_A_,*,Delta), and define a deformation *_q of * that coincides with * when q = 1 and is isomorphic to the concatenation product when q is not a root of unity. Finally, we discuss various examples of this construction.

研究の動機と目的

• 括弧演算 [·,·] が可換で、結合的で、次数を加法的に保つように、新しい乗法 * を導入することにより、シャッフル積を一般化すること。
• 結果として得られる代数 (A, *) が可換で、結合的で、k-次数付き代数であり、標準的コプロダクト Δ に関してホップ代数をなすことを確立すること。
• シャッフル代数 (A, sh) から準シャッフル代数 (A, *) への明示的な代数同型写像 exp を構成し、(A, *) がリュンドン語の自由多項式代数であることを証明すること。
• 準シャッフルホップ代数の次数付き双対を研究し、連結ホップ代数と同型であることを確立すること。
• 準シャッフル積の q-変形 *q を導入し、q が単位根でないとき、その連結代数と同型であることを証明すること。

提案手法

• 文字 a,b と語 w₁,w₂ に対して、次のように帰納的に準シャッフル積 * を定義する: aw₁ * bw₂ = a(w₁ * bw₂) + b(aw₁ * w₂) + [a,b](w₁ * w₂)。
• 括弧演算 [·,·] に関する公理 (S1)–(S3) を用いて、帰納法により * が可換で、結合的で、次数を保存することを証明する。
• 標準的コプロダクト Δ(w) = ∑_{uv=w} u⊗v を用いて、(A, *, Δ) にホップ代数構造を導入する。
• 生成関数のアプローチを用いて、語からその *-積への写像として、同型写像 exp: (A, sh) → (A, *) を構成する。
• ヴァルチェンコの定理を用いて、q が単位根でないとき、q-変形積 *q が連結代数と同型であることを証明する。
• 根の単位根を割り当てることで、φₙ: ℰᵣ → ℂ[t₁,…,tₙ] を定義し、この写像を用いて極限写像 φ: ℰᵣ → ℙ の単射性を証明する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 括弧演算 [·,·] にどのような条件を課すと、準シャッフル積 * が可換で、結合的になるか？
• RQ2 準シャッフル代数 (A, *) はシャッフル代数 (A, sh) と同型か？ もし同型であるならば、その同型写像を明示的に構成できるか？
• RQ3 準シャッフルホップ代数 (A, *, Δ) の次数付き双対は、連結ホップ代数と同型か？
• RQ4 準シャッフル積の q-変形 *q は連結代数とどのように関係し、どのような条件下で同型か？
• RQ5 準対称関数はホモモーティズムを介して形式的べき級数環に埋め込まれるか？ その埋め込みは単射か？

主な発見

• 準シャッフル積 * は、非可換多項式代数 k⟨A⟩ 上の可換で、結合的で、次数を保存する乗法である。
• 代数 (A, *) は明示的な同型写像 exp を通じてシャッフル代数 (A, sh) と同型であり、シャッフル積を準シャッフル積に写す。
• 準シャッフル代数 (A, *, Δ) はホップ代数であり、その次数付き双対は exp* を通じて連結ホップ代数と同型である。
• q が単位根でないとき、q-変形積 *q はヴァルチェンコの定理を用いて連結代数と同型であることが示された。
• Euler代数 ℰᵣ は、ホモモーティズム φₙ を通じて、多項式環の逆極限 ℂ[t₁,…,tₙ] に単射に埋め込まれ、極限写像 φ: ℰᵣ → ℙ は単射である。
• ホモモーティズム φₙ は次数を保存し、φₙ(zₚ,ⱼw) = ∑_{m>1} ω^{im} tₘᵖ φₘ₋₁(w) を満たす。ここで ω = e^{2πi/r} である。