[論文レビュー] Quasi-stationarity and quasi-ergodicity for discrete-time Markov chains with absorbing boundaries moving periodically

William Oçafrain|arXiv (Cornell University)|Jul 26, 2017

Stochastic processes and statistical mechanics参考文献 7被引用数 12

ひとこと要約

本稿は、周期的に移動する吸収境界を伴う離散時間マルコフ連鎖における準定常性および準エルゴード性を調査する。周期的境界移動の下では、時間依存の遷移ダイナミクスのため、準定常分布および準極限定常分布が存在しないことが証明されるが、周期的時間均質化技術を用いて、準エルゴード分布およびQ過程の存在が確立される。主な結果は、平均時間平均の挙動が周期的吸収でさえも、定常測度に収束することであり、これはZ上のランダムウォークに2周期の吸収境界を適用した場合に示された。

ABSTRACT

We are interested in quasi-stationarity and quasi-ergodicity when the absorbing boundary is moving. First we show that, in the moving boundary case, the quasi-stationary distribution and the quasi-limiting distribution are not well-defined when the boundary is oscillating periodically. Then we show the existence of a quasi-ergodic distribution for any discrete-time irreducible Markov chain defined on a finite space state in the fixed boundary case. Finally we use this last result to show the quasi-ergodicity in the moving boundary case.

研究の動機と目的

• 時間依存の吸収境界を伴うマルコフ連鎖における準定常的挙動の理論的枠組みの欠如に応える。
• 吸収境界が周期的に移動する場合、古典的な概念（準定常分布および準極限定常分布）が依然として有効であるかどうかを検討する。
• 標準的な準定常概念の失敗にもかかわらず、移動境界の場合における準エルゴード分布およびQ過程の存在を確立する。
• 周期的殺戮境界を伴う時間非一様マルコフ連鎖のための厳密な解析的枠組みを提供する。
• 離散時間ランダムウォークに2周期の吸収境界を適用することで、理論の実用的妥当性を示す。

提案手法

• 状態空間E × Z/γZ上の拡張過程を構築することで、周期的境界下での準エルゴード性の問題を、移動しない周期的マルコフ連鎖に還元する。
• マルコフ性と周期性を用いて、サイクルごとの条件付き遷移確率を表現し、収束解析を可能にする。
• 拡張連鎖の遷移行列にスペクトル分解技術を適用し、第二種チェビシェフ多項式を活用する。
• 拡張連鎖のエルゴード性を用いて、時間平均期待値の収束を証明し、初期分布に依存しない極限測度に収束することを示す。
• 条件付き過程の極限挙動から導かれる遷移確率を用いて、時変マルコフ連鎖としてのQ過程を構築する。
• 単純対称ランダムウォークがZ上で2周期の吸収境界を伴う場合に、明示的なスペクトル解析を用いて結果を検証する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 離散時間マルコフ連鎖の吸収境界が周期的に移動する場合、準定常分布および準極限定常分布は適切に定義されるか？
• RQ2 吸収境界が周期的に移動する非一意なマルコフ連鎖に対して、準エルゴード分布が存在しうるか？
• RQ3 周期的境界移動下で、非吸収を条件とした過程の時間平均的関数の極限挙動はいかなるものか？
• RQ4 固定境界の場合と比較して、移動境界の場合におけるQ過程の構造はどのように異なるか？
• RQ5 準エルゴード性の理論を周期的吸収境界を伴うランダムウォークに拡張できるか。その場合の極限分布は何か？

主な発見

• 殺戮境界が周期的に移動する場合、時間依存の遷移核を用いた背理法により、準定常分布および準極限定常分布が存在しないことが示された。
• 任意の有限状態空間上の非一意な離散時間マルコフ連鎖が周期的殺戮境界を伴う場合、時間平均分布は一意な極限測度に収束するため、準エルゴード性が成立する。
• 吸収集合が{0, 2N}または{1, 2N−1}であるZ上の2周期ランダムウォークにおいて、準エルゴード分布は初期状態の偶奇に依存し、正弦重み付き和を用いて明示的に与えられる。
• 奇数状態から出発する場合、吸収が{0, 2N}に発生するため、準エルゴード分布はj = 1 から 2N−1 に対して sin²(jπ/(2N)) に比例する。
• 偶数状態から出発する場合、吸収が{1, 2N−1}に発生するため、準エルゴード分布はj = 2 から 2N−2 に対して sin²((j−1)π/(2(N−1))) に比例する。
• Q過程は存在し、状態と時刻の2を法とする時間に依存する時変マルコフ連鎖として特徴づけられる。これは、拡張連鎖のスペクトル特性から導かれる。